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15 Flashs-science
avec la droite (D), c’est-` a-dire l’angle entre le rayon incident et la droite (D), est ´ egal `
a
l’angle AP B (angles oppos´ es par le sommet), lequel est ´ egal `
a l’angle
F P B. Donc, si la
droite (D) se comporte comme un miroir et si P C est le rayon incident, alors P F sera
le rayon r´ efl´ echi.
Il nous faut maintenant prouver que la droite (D) d´ efinie ci-dessus est tangente ` a
la parabole en P . Nous montrerons pour cela que tous les points de (D), sauf P , sont
situ´ es sous la parabole. En effet, il est facile de se convaincre que toute droite passant
par P autre que la tangente `
a la parabole a des points situ´ es au dessus de la parabole
(voir la figure 15.10).
Fig. 15.10. La tangente ` a la parabole en P est la seule droite passant par P qui n’a pas de
point au-dessus de la parabole.
La propri´ et´ e g´ eom´ etrique d´ efinissant la parabole peut ˆ etre reformul´ ee ainsi : soient
R un point quelconque du plan et S sa projection orthogonale sur la droite directrice.
Alors, on a
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
|F R| < |SR| si R est au-dessus de la parabole,
|F R| = |SR| si R est sur la parabole,
|F R| > |SR| si R est au-dessous de la parabole.
(15.2)
Prenons donc R, un point quelconque de (D) diff´ erent de P , et soit S sa projection
sur (Δ). Les triangles F P R et P AR sont congrus, car ils ont un angle ´ egal entre deux
cˆ ot´ es ´ egaux. Donc, |F R| = |AR|. D’autre part, puisque AR est l’hypot´ enuse du triangle
rectangle RSA, on a |SR| < |AR|. Donc, |SR| < |F R|, ce qui implique de par (15.2),
que R est sous la parabole.
Cette propri´ et´ e est-elle vraiment remarquable ? Le th´ eor` eme 15.7 affirme que cette
propri´ et´ e distingue la parabole. Comment cela se traduit-il en pratique ? Regardons la
figure 15.11. Un miroir plan transforme un faisceau de rayons parall` eles en un autre
faisceau de rayons parall` eles, un miroir circulaire transforme un faisceau de rayons parall` eles en une gerbe qui ne se concentre pas en un foyer bien localis´ e, alors qu’avec
un miroir parabolique recevant un faisceau de rayons parall` eles ` a son axe, les rayons
15 Flashs-science
avec la droite (D), c’est-` a-dire l’angle entre le rayon incident et la droite (D), est ´ egal `
a
l’angle AP B (angles oppos´ es par le sommet), lequel est ´ egal `
a l’angle
F P B. Donc, si la
droite (D) se comporte comme un miroir et si P C est le rayon incident, alors P F sera
le rayon r´ efl´ echi.
Il nous faut maintenant prouver que la droite (D) d´ efinie ci-dessus est tangente ` a
la parabole en P . Nous montrerons pour cela que tous les points de (D), sauf P , sont
situ´ es sous la parabole. En effet, il est facile de se convaincre que toute droite passant
par P autre que la tangente `
a la parabole a des points situ´ es au dessus de la parabole
(voir la figure 15.10).
Fig. 15.10. La tangente ` a la parabole en P est la seule droite passant par P qui n’a pas de
point au-dessus de la parabole.
La propri´ et´ e g´ eom´ etrique d´ efinissant la parabole peut ˆ etre reformul´ ee ainsi : soient
R un point quelconque du plan et S sa projection orthogonale sur la droite directrice.
Alors, on a
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
|F R| < |SR| si R est au-dessus de la parabole,
|F R| = |SR| si R est sur la parabole,
|F R| > |SR| si R est au-dessous de la parabole.
(15.2)
Prenons donc R, un point quelconque de (D) diff´ erent de P , et soit S sa projection
sur (Δ). Les triangles F P R et P AR sont congrus, car ils ont un angle ´ egal entre deux
cˆ ot´ es ´ egaux. Donc, |F R| = |AR|. D’autre part, puisque AR est l’hypot´ enuse du triangle
rectangle RSA, on a |SR| < |AR|. Donc, |SR| < |F R|, ce qui implique de par (15.2),
que R est sous la parabole.
Cette propri´ et´ e est-elle vraiment remarquable ? Le th´ eor` eme 15.7 affirme que cette
propri´ et´ e distingue la parabole. Comment cela se traduit-il en pratique ? Regardons la
figure 15.11. Un miroir plan transforme un faisceau de rayons parall` eles en un autre
faisceau de rayons parall` eles, un miroir circulaire transforme un faisceau de rayons parall` eles en une gerbe qui ne se concentre pas en un foyer bien localis´ e, alors qu’avec
un miroir parabolique recevant un faisceau de rayons parall` eles ` a son axe, les rayons