15.2 Quelques applications des coniques
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Th´ eor` eme 15.7 La parabole est la seule courbe telle qu’il existe une direction pour
laquelle tous les rayons parall` eles `
a cette direction et r´ efl´ echis sur la courbe passent par
un mˆ eme point.
Sch´ ema de la preuve Ce th´ eor` eme est nettement plus avanc´ e. Si on consid` ere une
courbe d’´ equation y = f (x), il faut r´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle formul´ ee plus haut,
` a savoir
f (x 0 ) − x 0
(f
(x 0 ))
2
− 1
2f (x 0 )
= C,
o` u C est une constante, ce qui revient ` a r´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle (on pose x 0 = x
pour avoir une forme plus standard)
2f (x)f
(x) − x(f
(x))
2
− 2Cf
(x) + x = 0.
Nous ne le ferons pas dans ce texte. Cependant, ceux qui connaissent la th´ eorie des
´ equations diff´ erentielles noteront que cette ´ equation est non lin´ eaire du premier ordre.
Nous allons donner une preuve g´ eom´ etrique du th´ eor` eme 15.6 utilisant seulement la
d´ efinition g´ eom´ etrique de la parabole introduite `
a la d´ efinition 15.4.
Preuve g´ eom´ etrique du th´ eor` eme 15.6 On raisonne sur la figure 15.9. On
Fig. 15.9. La preuve g´ eom´ etrique de la propri´ et´ e remarquable de la parabole
consid` ere une parabole de foyer F et de directrice (Δ). Soit P un point de la parabole, et
soit A sa projection sur (Δ). Par d´ efinition de la parabole, on sait que |P F | = |P A|. Soit
B le milieu du segment F A et soit (D) la droite passant par P et B. Comme le triangle
F P A est isoc` ele, on sait qu’on a l’´ egalit´ e des angles
F P B = AP B. On d´ emontrera donc
le th´ eor` eme si on montre que la droite (D) est tangente `
a la parabole en P . En effet,
regardons le prolongement P C de P A, qui est le rayon incident. L’angle que fait P C
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Th´ eor` eme 15.7 La parabole est la seule courbe telle qu’il existe une direction pour
laquelle tous les rayons parall` eles `
a cette direction et r´ efl´ echis sur la courbe passent par
un mˆ eme point.
Sch´ ema de la preuve Ce th´ eor` eme est nettement plus avanc´ e. Si on consid` ere une
courbe d’´ equation y = f (x), il faut r´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle formul´ ee plus haut,
` a savoir
f (x 0 ) − x 0
(f
(x 0 ))
2
− 1
2f (x 0 )
= C,
o` u C est une constante, ce qui revient ` a r´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle (on pose x 0 = x
pour avoir une forme plus standard)
2f (x)f
(x) − x(f
(x))
2
− 2Cf
(x) + x = 0.
Nous ne le ferons pas dans ce texte. Cependant, ceux qui connaissent la th´ eorie des
´ equations diff´ erentielles noteront que cette ´ equation est non lin´ eaire du premier ordre.
Nous allons donner une preuve g´ eom´ etrique du th´ eor` eme 15.6 utilisant seulement la
d´ efinition g´ eom´ etrique de la parabole introduite `
a la d´ efinition 15.4.
Preuve g´ eom´ etrique du th´ eor` eme 15.6 On raisonne sur la figure 15.9. On
Fig. 15.9. La preuve g´ eom´ etrique de la propri´ et´ e remarquable de la parabole
consid` ere une parabole de foyer F et de directrice (Δ). Soit P un point de la parabole, et
soit A sa projection sur (Δ). Par d´ efinition de la parabole, on sait que |P F | = |P A|. Soit
B le milieu du segment F A et soit (D) la droite passant par P et B. Comme le triangle
F P A est isoc` ele, on sait qu’on a l’´ egalit´ e des angles
F P B = AP B. On d´ emontrera donc
le th´ eor` eme si on montre que la droite (D) est tangente `
a la parabole en P . En effet,
regardons le prolongement P C de P A, qui est le rayon incident. L’angle que fait P C