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15 Flashs-science
le th´ eor` eme 15.7, qui est la r´ eciproque de notre th´ eor` eme. Soient (x 0 , y 0 ) un point de
la parabole et θ l’angle que fait le rayon incident avec la parabole (c’est-` a-dire avec la
tangente ` a la parabole en (x 0 , y 0 )). Pour des raisons de sym´ etrie, nous pouvons nous
limiter `
a x 0 ≥ 0. En regardant la figure 15.8 et en utilisant le fait que deux angles
oppos´ es par le sommet sont ´ egaux, on voit que le rayon r´ efl´ echi fait un angle de 2θ
avec la verticale, c’est-` a-dire un angle de
π
2 − 2θ avec l’horizontale. L’´ equation du rayon
r´ efl´ echi est donc
y − y 0 = tan
π
2
− 2θ
(x − x 0 )
(15.1)
(c’est ici que nous utilisons x 0 ≥ 0, car nous devrions ajouter un signe − dans le cas
x 0 < 0). Il faut calculer tan(
π
2 − 2θ) en fonction de x 0 . La pente de la tangente ` a
la parabole est donn´ ee par f
(x 0 ) = 2ax 0 . Comme l’angle que fait la tangente avec
l’horizontale est
π
2 − θ, on a
tan
π
2
− θ
= cot θ = f
(x 0 ) = 2ax 0 .
On a
tan
π
2
− 2θ
= cot 2θ.
Comme cos 2θ = cos
2 θ − sin
2 θ et sin 2θ = 2 sin θ cos θ, on obtient
cot 2θ =
cos
2 θ − sin
2 θ
2 sin θ cos θ
=
cos
2 θ−sin
2 θ
sin 2 θ
2 sin θ cos θ
sin 2 θ
=
cot
2 θ − 1
2 cot θ
.
Ceci donne
cot 2θ =
(f
(x 0 ))
2
− 1
2f (x 0 )
=
4a
2 x
2
0 − 1
4ax 0
.
On trouve le point d’intersection du rayon r´ efl´ echi avec l’axe vertical en prenant x = 0
dans l’´ equation (15.1) et en remarquant que y 0 = f (x 0 ). On obtient
y = f (x 0 ) − x 0
(f
(x 0 ))
2
− 1
2f (x 0 )
.
Utilisons maintenant f (x) = ax
2 . On obtient simplement
y =
1
4a
,
c’est-` a-dire que le point d’intersection (0, y) du rayon r´ efl´ echi avec l’axe vertical de la
parabole est ind´ ependant du rayon incident vertical consid´ er´ e. De plus, on reconnaˆ ıt que
le point (0,
1
4a ), qui est le point d’intersection de tous les rayons r´ efl´ echis, est pr´ ecis´ ement
le foyer de la parabole.
La r´ eciproque est aussi vraie.
15 Flashs-science
le th´ eor` eme 15.7, qui est la r´ eciproque de notre th´ eor` eme. Soient (x 0 , y 0 ) un point de
la parabole et θ l’angle que fait le rayon incident avec la parabole (c’est-` a-dire avec la
tangente ` a la parabole en (x 0 , y 0 )). Pour des raisons de sym´ etrie, nous pouvons nous
limiter `
a x 0 ≥ 0. En regardant la figure 15.8 et en utilisant le fait que deux angles
oppos´ es par le sommet sont ´ egaux, on voit que le rayon r´ efl´ echi fait un angle de 2θ
avec la verticale, c’est-` a-dire un angle de
π
2 − 2θ avec l’horizontale. L’´ equation du rayon
r´ efl´ echi est donc
y − y 0 = tan
π
2
− 2θ
(x − x 0 )
(15.1)
(c’est ici que nous utilisons x 0 ≥ 0, car nous devrions ajouter un signe − dans le cas
x 0 < 0). Il faut calculer tan(
π
2 − 2θ) en fonction de x 0 . La pente de la tangente ` a
la parabole est donn´ ee par f
(x 0 ) = 2ax 0 . Comme l’angle que fait la tangente avec
l’horizontale est
π
2 − θ, on a
tan
π
2
− θ
= cot θ = f
(x 0 ) = 2ax 0 .
On a
tan
π
2
− 2θ
= cot 2θ.
Comme cos 2θ = cos
2 θ − sin
2 θ et sin 2θ = 2 sin θ cos θ, on obtient
cot 2θ =
cos
2 θ − sin
2 θ
2 sin θ cos θ
=
cos
2 θ−sin
2 θ
sin 2 θ
2 sin θ cos θ
sin 2 θ
=
cot
2 θ − 1
2 cot θ
.
Ceci donne
cot 2θ =
(f
(x 0 ))
2
− 1
2f (x 0 )
=
4a
2 x
2
0 − 1
4ax 0
.
On trouve le point d’intersection du rayon r´ efl´ echi avec l’axe vertical en prenant x = 0
dans l’´ equation (15.1) et en remarquant que y 0 = f (x 0 ). On obtient
y = f (x 0 ) − x 0
(f
(x 0 ))
2
− 1
2f (x 0 )
.
Utilisons maintenant f (x) = ax
2 . On obtient simplement
y =
1
4a
,
c’est-` a-dire que le point d’intersection (0, y) du rayon r´ efl´ echi avec l’axe vertical de la
parabole est ind´ ependant du rayon incident vertical consid´ er´ e. De plus, on reconnaˆ ıt que
le point (0,
1
4a ), qui est le point d’intersection de tous les rayons r´ efl´ echis, est pr´ ecis´ ement
le foyer de la parabole.
La r´ eciproque est aussi vraie.