15.2 Quelques applications des coniques
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|(x, ax
2 ) − (0, y 0 )| = |(x, ax
2 ) − (x, −y 0 )|.
´
Elevons au carr´ e pour nous d´ ebarrasser des radicaux :
|(x, ax
2 ) − (0, y 0 )|
2 = |(x, ax
2 ) − (x, −y 0 )|
2 .
Cette ´ equation donne x
2 + (ax
2
− y 0 )
2 = (x − x)
2 + (ax
2 + y 0 )
2 , c’est-` a-dire
x
2 + a
2 x
4
− 2ax
2 y 0 + y
2
0 = a
2 x
4 + 2ax
2 y 0 + y
2
0 ,
ou encore
x
2 (1 − 4ay 0 ) = 0
pour tout x. Il faut donc que le coefficient de x
2 soit nul, c’est-` a-dire que 1 − 4ay 0 = 0.
Alors, y 0 =
1
4a . Le foyer est le point de coordonn´ ees (0,
1
4a ), et la directrice a pour
´ equation y = −
1
4a .
Pour comprendre la propri´ et´ e remarquable que nous allons maintenant d´ ecrire, il faut
s’imaginer que l’int´ erieur de la parabole est un miroir. Tout rayon lumineux r´ efl´ echi en
un point de ce miroir satisfait `
a la loi de la r´ eflexion : les angles que font le rayon incident
et le rayon r´ efl´ echi avec la tangente ` a la parabole sont ´ egaux (voir la section 15.1 pour
plus de d´ etails sur la loi de la r´ eflexion).
Fig. 15.8. Une propri´ et´ e remarquable de la parabole
Le th´ eor` eme suivant d´ ecrit la propri´ et´ e remarquable de la parabole.
Th´ eor` eme 15.6 (la propri´ et´ e remarquable de la parabole) Tous les rayons
parall` eles `
a l’axe de la parabole et r´ efl´ echis sur la parabole passent au foyer de la parabole.
Preuve Consid´ erons la parabole d’´ equation y = f (x) o` u f (x) = ax
2 . Nous allons
conserver la fonction f (x) tout au long du calcul pour pouvoir utiliser nos calculs pour