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15 Flashs-science
15.2 Quelques applications des coniques
15.2.1 Une propri´ et´ e remarquable de la parabole
La l´ egende veut qu’Archim` ede (287-212 avant notre ` ere) ait incendi´ e la flotte romaine
qui assi´ egeait Syracuse, sa ville natale en Sicile. Il l’aurait fait en utilisant la propri´ et´ e
remarquable dont il sera maintenant question.
Tous se rappellent l’´ equation de la parabole y = ax
2 , dont le sommet est ` a l’origine
et l’axe est vertical. Il en existe aussi une d´ efinition g´ eom´ etrique que nous utiliserons
par la suite.
D´ efinition 15.4 La parabole est le lieu g´ eom´ etrique des points du plan ` a ´ egale distance
d’un point F , nomm´ e foyer de la parabole, et d’une droite (Δ), la directrice de la parabole
(figure 15.7).
Il est ais´ e de d´ eterminer la position du foyer et de la directrice (Δ) pour la parabole
d’´ equation y = ax
2 .
Fig. 15.7. Une d´ efinition g´ eom´ etrique de la parabole
Proposition 15.5 Le foyer de la parabole y = ax
2 est le point de coordonn´ ees (0,
1
4a ),
et sa directrice a pour ´ equation y = −
1
4a .
Preuve Par sym´ etrie, le foyer est sur l’axe de sym´ etrie de la parabole (l’axe des y
si la parabole a pour ´ equation y = ax
2 ; voir la figure 15.7), et la directrice doit ˆ etre
perpendiculaire `
a cet axe. Donc,
F = (0, y 0 )
et
(Δ)={(x, y 1 ) | x ∈ R}.
On voit d´ ej` a que y 1 = −y 0 , puisque (0, 0) est sur la parabole. Si un point appartient ` a
la parabole, il est de la forme (x, ax
2 ), et il se trouve ` a ´ egale distance du foyer et de la
directrice si
15 Flashs-science
15.2 Quelques applications des coniques
15.2.1 Une propri´ et´ e remarquable de la parabole
La l´ egende veut qu’Archim` ede (287-212 avant notre ` ere) ait incendi´ e la flotte romaine
qui assi´ egeait Syracuse, sa ville natale en Sicile. Il l’aurait fait en utilisant la propri´ et´ e
remarquable dont il sera maintenant question.
Tous se rappellent l’´ equation de la parabole y = ax
2 , dont le sommet est ` a l’origine
et l’axe est vertical. Il en existe aussi une d´ efinition g´ eom´ etrique que nous utiliserons
par la suite.
D´ efinition 15.4 La parabole est le lieu g´ eom´ etrique des points du plan ` a ´ egale distance
d’un point F , nomm´ e foyer de la parabole, et d’une droite (Δ), la directrice de la parabole
(figure 15.7).
Il est ais´ e de d´ eterminer la position du foyer et de la directrice (Δ) pour la parabole
d’´ equation y = ax
2 .
Fig. 15.7. Une d´ efinition g´ eom´ etrique de la parabole
Proposition 15.5 Le foyer de la parabole y = ax
2 est le point de coordonn´ ees (0,
1
4a ),
et sa directrice a pour ´ equation y = −
1
4a .
Preuve Par sym´ etrie, le foyer est sur l’axe de sym´ etrie de la parabole (l’axe des y
si la parabole a pour ´ equation y = ax
2 ; voir la figure 15.7), et la directrice doit ˆ etre
perpendiculaire `
a cet axe. Donc,
F = (0, y 0 )
et
(Δ)={(x, y 1 ) | x ∈ R}.
On voit d´ ej` a que y 1 = −y 0 , puisque (0, 0) est sur la parabole. Si un point appartient ` a
la parabole, il est de la forme (x, ax
2 ), et il se trouve ` a ´ egale distance du foyer et de la
directrice si