1.5 La cartographie
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centre de la sph` ere et d´ eterminent donc avec celui-ci un unique plan. Ce plan coupe la
sph` ere suivant un grand cercle. Sur ce cercle, Q 1 et Q 2 d´ ecoupent deux arcs de cercle.
Le plus court de ces arcs est le plus court chemin sur la sph` ere entre Q 1 et Q 2 . Soit
O le centre de la sph` ere. La longueur de cet arc est Rα, o` u α ∈ [0, π) est l’angle entre
OQ 1 et OQ 2 , et R est le rayon de la sph` ere. En navigation maritime, la route la plus
courte entre deux points est appel´ ee l’orthodromie. En math´ ematiques, quand on parle
du plus court chemin sur une surface entre deux points, on parle plutˆ ot de g´ eod´ esique.
Les g´ eod´ esiques de la sph` ere sont donc des arcs de grands cercles. Si l’on consid` ere
une carte construite avec la projection de Mercator, l’orthodromie entre deux points
repr´ esentant Q 1 et Q 2 n’est pas le segment de droite joignant ces deux points, sauf si
ces deux points sont ` a la mˆ eme longitude. Dans le vocabulaire maritime, la loxodromie
de deux points est la route qui les joint en coupant tous les m´ eridiens sous un mˆ eme
angle. Sur la projection de Mercator, cette route est le segment de droite joignant les
deux points. Ceci nous montre donc qu’une telle route existe ! La distance loxodromique
est plus longue que la distance orthodromique, quoiqu’on observe l’ordre de grandeur
inverse pour leurs projections de Mercator (figure 1.11).
Fig. 1.11. Routes orthodromique et loxodromique entre deux points A et B
Suivre une trajectoire pour un navigateur Si on veut aller d’un point A ` a un
point B avec les moyens traditionnels de navigation, donc sans GPS, il est plus facile
de suivre la route loxodromique, c’est-` a-dire celle qui apparaˆ ıt comme le segment de
droite entre A et B sur la projection de Mercator. Cette droite fait un angle constant
avec tous les m´ eridiens. L’outil de navigation traditionnel est le compas magn´ etique. Il
indique le nord magn´ etique. Les lignes du champ magn´ etique terrestre ressemblent ` a un
faisceau de m´ eridiens allant du nord magn´ etique au sud magn´ etique. Cependant, le nord
magn´ etique et le sud magn´ etique ne sont pas situ´ es au pˆ ole Nord et au pˆ ole Sud. Et,
de plus, leur position est variable. Donc, en pratique, les lignes du champ magn´ etique
terrestre forment un angle avec les m´ eridiens, et cet angle n’est pas constant partout
sur la Terre. Il n’est pas non plus constant d’une ann´ ee ` a l’autre. On peut trouver cet
angle dans des tables. Si on est ancr´ e dans un endroit connu et qu’on peut observer
des rep` eres fixes, on peut aussi le calculer `
a l’aide de mesures d’angles entre le nord
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centre de la sph` ere et d´ eterminent donc avec celui-ci un unique plan. Ce plan coupe la
sph` ere suivant un grand cercle. Sur ce cercle, Q 1 et Q 2 d´ ecoupent deux arcs de cercle.
Le plus court de ces arcs est le plus court chemin sur la sph` ere entre Q 1 et Q 2 . Soit
O le centre de la sph` ere. La longueur de cet arc est Rα, o` u α ∈ [0, π) est l’angle entre
OQ 1 et OQ 2 , et R est le rayon de la sph` ere. En navigation maritime, la route la plus
courte entre deux points est appel´ ee l’orthodromie. En math´ ematiques, quand on parle
du plus court chemin sur une surface entre deux points, on parle plutˆ ot de g´ eod´ esique.
Les g´ eod´ esiques de la sph` ere sont donc des arcs de grands cercles. Si l’on consid` ere
une carte construite avec la projection de Mercator, l’orthodromie entre deux points
repr´ esentant Q 1 et Q 2 n’est pas le segment de droite joignant ces deux points, sauf si
ces deux points sont ` a la mˆ eme longitude. Dans le vocabulaire maritime, la loxodromie
de deux points est la route qui les joint en coupant tous les m´ eridiens sous un mˆ eme
angle. Sur la projection de Mercator, cette route est le segment de droite joignant les
deux points. Ceci nous montre donc qu’une telle route existe ! La distance loxodromique
est plus longue que la distance orthodromique, quoiqu’on observe l’ordre de grandeur
inverse pour leurs projections de Mercator (figure 1.11).
Fig. 1.11. Routes orthodromique et loxodromique entre deux points A et B
Suivre une trajectoire pour un navigateur Si on veut aller d’un point A ` a un
point B avec les moyens traditionnels de navigation, donc sans GPS, il est plus facile
de suivre la route loxodromique, c’est-` a-dire celle qui apparaˆ ıt comme le segment de
droite entre A et B sur la projection de Mercator. Cette droite fait un angle constant
avec tous les m´ eridiens. L’outil de navigation traditionnel est le compas magn´ etique. Il
indique le nord magn´ etique. Les lignes du champ magn´ etique terrestre ressemblent ` a un
faisceau de m´ eridiens allant du nord magn´ etique au sud magn´ etique. Cependant, le nord
magn´ etique et le sud magn´ etique ne sont pas situ´ es au pˆ ole Nord et au pˆ ole Sud. Et,
de plus, leur position est variable. Donc, en pratique, les lignes du champ magn´ etique
terrestre forment un angle avec les m´ eridiens, et cet angle n’est pas constant partout
sur la Terre. Il n’est pas non plus constant d’une ann´ ee ` a l’autre. On peut trouver cet
angle dans des tables. Si on est ancr´ e dans un endroit connu et qu’on peut observer
des rep` eres fixes, on peut aussi le calculer `
a l’aide de mesures d’angles entre le nord