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1 Positionnement
On va consid´ erer les vecteurs tangents en Q = F (θ 0 , φ 0 ) de F ◦ v = v 1 et F ◦ w = w 1
et montrer qu’ils sous-tendent le mˆ eme angle que les vecteurs tangents en N (Q) de
N ◦ F ◦ v = v 2 et N ◦ F ◦ w = w 2 . Le calcul de ces vecteurs tangents se fait en utilisant
la r` egle de chaˆ ıne et donne
v
1 (0) = R(− sin θ 0 cos φ 0 cos α − cos θ 0 sin φ 0 sin α,
cos θ 0 cos φ 0 cos α − sin θ 0 sin φ 0 sin α, cos φ 0 sin α)
w
1 (0) = R(− sin θ 0 cos φ 0 cos β − cos θ 0 sin φ 0 sin β,
cos θ 0 cos φ 0 cos β − sin θ 0 sin φ 0 sin β, cos φ 0 sin β)
v
2 (0) = (cos α,
sin α
cos φ0 )
w
2 (0) = (cos β,
sin β
cos φ0 ).
Pour montrer que la transformation est conforme, nous utilisons le crit` ere suivant :
Lemme 1.18 La transformation est conforme si pour tout (θ 0 , φ 0 ), il existe une
constante positive λ(θ 0 , φ 0 ) telle que, pour tous α, β, on a la relation suivante pour
les produits scalaires de v
i (0) et w
i (0) :
v
1 (0), w
1 (0) = λ(θ 0 , φ 0 )v
2 (0), w
2 (0).
(1.44)
Preuve Soit ψ i l’angle entre v
i (0) et w
i (0) pour i = 1, 2. On veut montrer que cos ψ 1 =
cos ψ 2 . Si (1.44) est satisfait, on a
cos ψ 1 =
v
1 (0),w
1 (0)
|v
1 (0)| |w
1 (0)|
=
v
1 (0),w
1 (0)
v
1 (0),v
1 (0) 1/2 w
1 (0),w
1 (0) 1/2
=
λ(θ0,φ0)v
2 (0),w
2 (0)
(λ(θ0,φ0)v
2 (0),v
2 (0)) 1/2 (λ(θ0,φ0)w
2 (0),w
2 (0)) 1/2
=
v
2 (0),w
2 (0)
v
2 (0),v
2 (0) 1/2 w
2 (0),w
2 (0) 1/2
=
v
2 (0),w
2 (0)
|v
2 (0)| |w
2 (0)|
= cosψ 2 .
La condition λ(θ 0 , φ 0 ) > 0 assure qu’on ne divise pas par z´ ero et que les racines carr´ ees
sont r´ eelles.
La v´ erification de (1.44) pour la projection de Mercator est un peu longue, mais se
simplifie bien. On obtient
v
1 (0), w
1 (0) = R
2 (cos
2 φ 0 cos α cos β + sin α sin β)
v
2 (0), w
2 (0) = cosα cos β +
sin α sin β
cos 2 φ0 .
D’o` u λ(θ 0 , φ 0 ) = R
2 cos
2 φ 0 .
Le plus court chemin entre deux points sur la sph` ere On consid` ere deux points
Q 1 et Q 2 sur la sph` ere. S’ils ne sont pas antipodaux, ils ne sont pas align´ es avec le