1.5 La cartographie
33
Fig. 1.10. La carte du monde avec la projection de Mercator. Comme la carte a une hauteur
infinie, on n’a repr´ esent´ e que la r´ egion situ´ ee entre les latitudes 85
◦ S et 85
◦ N.
D´ efinition 1.16 Une transformation N : S 1 → S 2 d’une surface S 1 dans une surface
S 2 est conforme si elle pr´ eserve les angles, c’est-` a-dire si, chaque fois que deux courbes
de S 1 se coupent sous un angle α en un point Q, leurs images par N se coupent dans
S 2 sous le mˆ eme angle α en N (Q).
Th´ eor` eme 1.17 Les deux transformations M et N d´ efinies en (1.42) et (1.43) sont
conformes.
Preuve Nous nous contenterons de donner la preuve pour le cas de N . Le cas de
M suit si l’on se convainc que, lorsqu’on enroule ou d´ eroule un cylindre, on ne change
pas les angles des courbes inscrites sur sa surface. On pr´ eserve ensuite les angles quand
on compose avec une homoth´ etie de rapport R. Comme deux courbes tangentes sont
envoy´ ees sur deux courbes tangentes, il suffit de travailler avec des segments de droite
auxquels on peut penser comme des morceaux des droites tangentes aux courbes. Prenons un point (θ 0 , φ 0 ) et deux petits segments de droite passant par ce point, que l’on
peut consid´ erer comme les courbes
v(t) = (θ 0 + t cos α, φ 0 + t sin α)
w(t) = (θ 0 + t cos β, φ 0 + t sin β).
33
Fig. 1.10. La carte du monde avec la projection de Mercator. Comme la carte a une hauteur
infinie, on n’a repr´ esent´ e que la r´ egion situ´ ee entre les latitudes 85
◦ S et 85
◦ N.
D´ efinition 1.16 Une transformation N : S 1 → S 2 d’une surface S 1 dans une surface
S 2 est conforme si elle pr´ eserve les angles, c’est-` a-dire si, chaque fois que deux courbes
de S 1 se coupent sous un angle α en un point Q, leurs images par N se coupent dans
S 2 sous le mˆ eme angle α en N (Q).
Th´ eor` eme 1.17 Les deux transformations M et N d´ efinies en (1.42) et (1.43) sont
conformes.
Preuve Nous nous contenterons de donner la preuve pour le cas de N . Le cas de
M suit si l’on se convainc que, lorsqu’on enroule ou d´ eroule un cylindre, on ne change
pas les angles des courbes inscrites sur sa surface. On pr´ eserve ensuite les angles quand
on compose avec une homoth´ etie de rapport R. Comme deux courbes tangentes sont
envoy´ ees sur deux courbes tangentes, il suffit de travailler avec des segments de droite
auxquels on peut penser comme des morceaux des droites tangentes aux courbes. Prenons un point (θ 0 , φ 0 ) et deux petits segments de droite passant par ce point, que l’on
peut consid´ erer comme les courbes
v(t) = (θ 0 + t cos α, φ 0 + t sin α)
w(t) = (θ 0 + t cos β, φ 0 + t sin β).