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1 Positionnement
g´ en´ eral un parall´ elogramme dont l’aire est pr´ ecis´ ement
∂F
∂θ ∧
∂F
∂φ
dθ dφ, soit le produit
des longueurs des vecteurs, multipli´ e par le sinus de l’angle entre les deux vecteurs.
Dans notre probl` eme, l’image par F de cet ´ el´ ement de surface ressemble ` a un rectangle infinit´ esimal de cˆ ot´ es Rdθ| cos φ| et Rdφ. L’image par G ressemble ` a un rectangle
infinit´ esimal de cˆ ot´ es Rdθ et R| cos φ|dφ. Dans les deux cas, cet ´ el´ ement de surface
infinit´ esimal a pour aire R
2
| cos φ|dθ dφ.
La projection de Mercator La projection pr´ ec´ edente pr´ eserve les aires, mais pas
les angles. Dans les cartes marines, on va lui pr´ ef´ erer une projection qui pr´ eserve les
angles : ce sera la projection de Mercator M : S → C. Dans ce cas, on projette la sph` ere
sur tout le cylindre. Comme pr´ ec´ edemment, on utilise les coordonn´ ees sph´ eriques (1.38)
pour repr´ esenter un point Q de la sph` ere, lequel est donc de la forme F (θ, φ). Son image
par M est :
M (Q) = M (F (θ, φ)) =
R cos θ, R sin θ, R log
tan
1
2 (φ +
π
2 )
.
(1.42)
Une autre mani` ere de regarder cette projection est de d´ erouler le cyclindre. Comme
coordonn´ ees, on prend θ comme abscisse et z comme ordonn´ ee. On obtient donc une
application N : S → R
2 . Alors, si (θ, φ) sont les coordonn´ ees sph´ eriques de Q, on lui
fait correspondre
N (F (θ, φ)) =
θ, log
tan
1
2 (φ +
π
2 )
(1.43)
(Voir la figure 1.9 et la figure 1.10 pour une repr´ esentation du monde avec cette projection.)
Fig. 1.9. La projection de Mercator : on projette sur le cylindre et on le d´ eroule. Pour une
mˆ eme distance le long d’un m´ eridien sur la sph` ere, la distance verticale sur la carte paraˆ ıt plus
longue si on est plus loin de l’´ equateur.
1 Positionnement
g´ en´ eral un parall´ elogramme dont l’aire est pr´ ecis´ ement
∂F
∂θ ∧
∂F
∂φ
dθ dφ, soit le produit
des longueurs des vecteurs, multipli´ e par le sinus de l’angle entre les deux vecteurs.
Dans notre probl` eme, l’image par F de cet ´ el´ ement de surface ressemble ` a un rectangle infinit´ esimal de cˆ ot´ es Rdθ| cos φ| et Rdφ. L’image par G ressemble ` a un rectangle
infinit´ esimal de cˆ ot´ es Rdθ et R| cos φ|dφ. Dans les deux cas, cet ´ el´ ement de surface
infinit´ esimal a pour aire R
2
| cos φ|dθ dφ.
La projection de Mercator La projection pr´ ec´ edente pr´ eserve les aires, mais pas
les angles. Dans les cartes marines, on va lui pr´ ef´ erer une projection qui pr´ eserve les
angles : ce sera la projection de Mercator M : S → C. Dans ce cas, on projette la sph` ere
sur tout le cylindre. Comme pr´ ec´ edemment, on utilise les coordonn´ ees sph´ eriques (1.38)
pour repr´ esenter un point Q de la sph` ere, lequel est donc de la forme F (θ, φ). Son image
par M est :
M (Q) = M (F (θ, φ)) =
R cos θ, R sin θ, R log
tan
1
2 (φ +
π
2 )
.
(1.42)
Une autre mani` ere de regarder cette projection est de d´ erouler le cyclindre. Comme
coordonn´ ees, on prend θ comme abscisse et z comme ordonn´ ee. On obtient donc une
application N : S → R
2 . Alors, si (θ, φ) sont les coordonn´ ees sph´ eriques de Q, on lui
fait correspondre
N (F (θ, φ)) =
θ, log
tan
1
2 (φ +
π
2 )
(1.43)
(Voir la figure 1.9 et la figure 1.10 pour une repr´ esentation du monde avec cette projection.)
Fig. 1.9. La projection de Mercator : on projette sur le cylindre et on le d´ eroule. Pour une
mˆ eme distance le long d’un m´ eridien sur la sph` ere, la distance verticale sur la carte paraˆ ıt plus
longue si on est plus loin de l’´ equateur.