1.5 La cartographie
31
G : (−π, π] × [−
π
2 ,
π
2 ] → C
(θ, φ) → G(θ, φ) = (x, y, z) = (R cos θ, R sin θ, R sin φ).
(1.39)
Dans ces coordonn´ ees, la projection P se lit : (θ, φ) → (θ, φ) ! Soient A une r´ egion de la
sph` ere et P (A) sa projection sur le cylindre. Alors, ces deux r´ egions sont l’image d’une
mˆ eme r´ egion
B ⊂ (−π, π] × [−
π
2
,
π
2
].
Nous justifierons bri` evement ci-dessous cette formule classique pour l’aire de A :
Aire(A) =
B
∂F
∂θ
∧
∂F
∂φ
dθ dφ
(1.40)
o` u le symbole v ∧ w repr´ esente le produit vectoriel de v et w, et |v ∧ w| repr´ esente sa
longueur (voir, par exemple, [1] ou un livre de calcul `
a plusieurs variables). On a pour
la sph` ere
∂F
∂θ
= (−R sin θ cos φ, R cos θ cos φ, 0),
∂F
∂φ
= (−R cos θ sin φ, −R sin θ sin φ, R cos φ),
∂F
∂θ ∧
∂F
∂φ
= (R
2 cos θ cos
2 φ, R
2 sin θ cos
2 φ, R
2 sin φ cos φ),
∂F
∂θ ∧
∂F
∂φ
= R
2
| cos φ|.
De mˆ eme, pour le cylindre
Aire(P (A)) =
B
∂G
∂θ
∧
∂G
∂φ
dθ dφ.
(1.41)
Ici, on a
∂G
∂θ
= (−R sin θ, R cos θ, 0),
∂G
∂φ
= (0, 0, R cos φ),
∂G
∂θ ∧
∂G
∂φ
= (R
2 cos θ cos φ, R
2 sin θ cos φ, 0),
∂G
∂θ ∧
∂G
∂φ
= R
2
| cos φ|.
On voit sans peine que les aires de A et de P (A) s’obtiennent en int´ egrant la mˆ eme
fonction sur le mˆ eme domaine B. Donc, ces deux aires sont ´ egales.
Justification des formules (1.40) et (1.41) Ceci est un rappel rapide de comment on
obtient la formule donnant l’aire d’une surface. Vous avez probablement vu cela dans un
cours de calcul ` a plusieurs variables. On d´ ecoupe l’ensemble B en ´ el´ ements rectangulaires
infinit´ esimaux de cˆ ot´ es dθ et dφ. L’aire de A (resp. de P (A)) est la somme des aires
de leurs images par F (resp. par G). Concentrons-nous sur l’aire de A. On peut penser
aux ´ el´ ements dθ et dφ comme ` a des segments infinit´ esimaux des tangentes aux courbes
φ = φ 0 et θ = θ 0 . Donc, leurs images sont des segments infinit´ esimaux tangents aux
images de ces courbes : ce sont les vecteurs
∂F
∂θ dθ et
∂F
∂φ dφ. Ces vecteurs engendrent en
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G : (−π, π] × [−
π
2 ,
π
2 ] → C
(θ, φ) → G(θ, φ) = (x, y, z) = (R cos θ, R sin θ, R sin φ).
(1.39)
Dans ces coordonn´ ees, la projection P se lit : (θ, φ) → (θ, φ) ! Soient A une r´ egion de la
sph` ere et P (A) sa projection sur le cylindre. Alors, ces deux r´ egions sont l’image d’une
mˆ eme r´ egion
B ⊂ (−π, π] × [−
π
2
,
π
2
].
Nous justifierons bri` evement ci-dessous cette formule classique pour l’aire de A :
Aire(A) =
B
∂F
∂θ
∧
∂F
∂φ
dθ dφ
(1.40)
o` u le symbole v ∧ w repr´ esente le produit vectoriel de v et w, et |v ∧ w| repr´ esente sa
longueur (voir, par exemple, [1] ou un livre de calcul `
a plusieurs variables). On a pour
la sph` ere
∂F
∂θ
= (−R sin θ cos φ, R cos θ cos φ, 0),
∂F
∂φ
= (−R cos θ sin φ, −R sin θ sin φ, R cos φ),
∂F
∂θ ∧
∂F
∂φ
= (R
2 cos θ cos
2 φ, R
2 sin θ cos
2 φ, R
2 sin φ cos φ),
∂F
∂θ ∧
∂F
∂φ
= R
2
| cos φ|.
De mˆ eme, pour le cylindre
Aire(P (A)) =
B
∂G
∂θ
∧
∂G
∂φ
dθ dφ.
(1.41)
Ici, on a
∂G
∂θ
= (−R sin θ, R cos θ, 0),
∂G
∂φ
= (0, 0, R cos φ),
∂G
∂θ ∧
∂G
∂φ
= (R
2 cos θ cos φ, R
2 sin θ cos φ, 0),
∂G
∂θ ∧
∂G
∂φ
= R
2
| cos φ|.
On voit sans peine que les aires de A et de P (A) s’obtiennent en int´ egrant la mˆ eme
fonction sur le mˆ eme domaine B. Donc, ces deux aires sont ´ egales.
Justification des formules (1.40) et (1.41) Ceci est un rappel rapide de comment on
obtient la formule donnant l’aire d’une surface. Vous avez probablement vu cela dans un
cours de calcul ` a plusieurs variables. On d´ ecoupe l’ensemble B en ´ el´ ements rectangulaires
infinit´ esimaux de cˆ ot´ es dθ et dφ. L’aire de A (resp. de P (A)) est la somme des aires
de leurs images par F (resp. par G). Concentrons-nous sur l’aire de A. On peut penser
aux ´ el´ ements dθ et dφ comme ` a des segments infinit´ esimaux des tangentes aux courbes
φ = φ 0 et θ = θ 0 . Donc, leurs images sont des segments infinit´ esimaux tangents aux
images de ces courbes : ce sont les vecteurs
∂F
∂θ dθ et
∂F
∂φ dφ. Ces vecteurs engendrent en