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1 Positionnement
Fig. 1.8. La carte du monde avec la projection cylindrique de Lambert
Quoique ayant une moins grande distortion que la projection par le centre de la
sph` ere, cette projection ne respecte pas du tout les distances d` es qu’on s’´ eloigne trop
de l’´ equateur. Par contre, elle a une propri´ et´ e remarquable : elle pr´ eserve les aires.
La d´ ecouverte de cette propri´ et´ e revient `
a Archim` ede. C’est cette projection qui a ´ et´ e
utilis´ ee pour la r´ ealisation de l’Atlas de Peters [3] (voir figure 1.8). Alors que dans les
autres atlas, les pays nordiques paraissent plus grands que nature par rapport aux autres
pays, dans l’Atlas de Peters, des pays comme le Canada ou la Russie ont exactement
la surface qu’ils m´ eritent en comparaison des autres pays. Ils paraissent par contre
plus larges et moins hauts. D´ emontrons cette propri´ et´ e remarquable de la projection
horizontale sur le cylindre.
Th´ eor` eme 1.15 La projection P : S → C donn´ ee par la formule (1.37) pr´ eserve les
aires. (En g´ eographie, on dit que cette projection est ´ equivalente.)
Preuve Pour faire la preuve, nous allons changer de coordonn´ ees et param´ etriser
la sph` ere ` a l’aide de deux coordonn´ ees angulaires. Pour la sph` ere, nous utilisons les
coordonn´ ees sph´ eriques que l’on peut voir comme une application
F : (−π, π] × [
−π
2 ,
π
2 ] → S
(θ, φ) → F (θ, φ) = (x, y, z) = (R cos θ cos φ, R sin θ cos φ, R sin φ).
(1.38)
On pensera `
a θ comme la longitude (exprim´ ee en radians plutˆ ot qu’en degr´ es) : θ = 0 est
le m´ eridien de Greenwich, θ > 0 correspond `
a la longitude est, et θ < 0, `
a la longitude
ouest. φ est la latitude, et φ > 0 correspond aux latitudes nordiques. Pour le cylindre,
comme on ne projette la sph` ere que sur la zone du cylindre comprise dans |z| ≤ R, on
utilisera les mˆ emes coordonn´ ees (θ, φ). La param´ etrisation est une application
1 Positionnement
Fig. 1.8. La carte du monde avec la projection cylindrique de Lambert
Quoique ayant une moins grande distortion que la projection par le centre de la
sph` ere, cette projection ne respecte pas du tout les distances d` es qu’on s’´ eloigne trop
de l’´ equateur. Par contre, elle a une propri´ et´ e remarquable : elle pr´ eserve les aires.
La d´ ecouverte de cette propri´ et´ e revient `
a Archim` ede. C’est cette projection qui a ´ et´ e
utilis´ ee pour la r´ ealisation de l’Atlas de Peters [3] (voir figure 1.8). Alors que dans les
autres atlas, les pays nordiques paraissent plus grands que nature par rapport aux autres
pays, dans l’Atlas de Peters, des pays comme le Canada ou la Russie ont exactement
la surface qu’ils m´ eritent en comparaison des autres pays. Ils paraissent par contre
plus larges et moins hauts. D´ emontrons cette propri´ et´ e remarquable de la projection
horizontale sur le cylindre.
Th´ eor` eme 1.15 La projection P : S → C donn´ ee par la formule (1.37) pr´ eserve les
aires. (En g´ eographie, on dit que cette projection est ´ equivalente.)
Preuve Pour faire la preuve, nous allons changer de coordonn´ ees et param´ etriser
la sph` ere ` a l’aide de deux coordonn´ ees angulaires. Pour la sph` ere, nous utilisons les
coordonn´ ees sph´ eriques que l’on peut voir comme une application
F : (−π, π] × [
−π
2 ,
π
2 ] → S
(θ, φ) → F (θ, φ) = (x, y, z) = (R cos θ cos φ, R sin θ cos φ, R sin φ).
(1.38)
On pensera `
a θ comme la longitude (exprim´ ee en radians plutˆ ot qu’en degr´ es) : θ = 0 est
le m´ eridien de Greenwich, θ > 0 correspond `
a la longitude est, et θ < 0, `
a la longitude
ouest. φ est la latitude, et φ > 0 correspond aux latitudes nordiques. Pour le cylindre,
comme on ne projette la sph` ere que sur la zone du cylindre comprise dans |z| ≤ R, on
utilisera les mˆ emes coordonn´ ees (θ, φ). La param´ etrisation est une application