15.1 Les lois de r´ eflexion et de r´ efraction de la lumi` ere
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Fig. 15.5. La loi de la r´ efraction et le chemin le plus rapide
T (x) =
|AQ|
v 1
+
|QB|
v 2
=
x 2 + h 2
1
v 1
+
(l − x) 2 + h 2
2
v 2
.
Pour minimiser ce temps de parcours, on cherche x ∗ tel que T
(x ∗ ) = 0. Comme
T
(x) =
x
v 1
x 2 + h 2
1
−
(l − x)
v 2
(l − x) 2 + h 2
2
,
alors T
(x ∗ ) = 0 pour x ∗ satisfaisant `
a
x ∗
v 1
x 2
∗ + h 2
1
=
(l − x ∗ )
v 2
(l − x ∗ ) 2 + h 2
2
Le r´ esultat d´ ecoule du fait que
x ∗
x 2
∗ + h 2
1
= sin θ 1 ,
(l − x ∗ )
(l − x ∗ ) 2 + h 2
2
= sin θ 2 .
On peut v´ erifier que T
(x ∗ ) > 0, c’est-` a-dire que le point x ∗ est un minimum. En effet,
T
(x) =
h
2
1
v 1 (x 2 + h 2
1 ) 3/2 +
h
2
2
v 2 ((l − x) 2 + h 2
2 ) 3/2 .
Un rayon lumineux choisit toujours le chemin le plus rapide. On voit tout de suite
l’int´ erˆ et de ce principe : non seulement il est ´ el´ egant sur le plan th´ eorique, mais il nous