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15 Flashs-science
ouvre de nouveaux horizons. Par exemple, il nous permet de calculer la trajectoire d’un
rayon lumineux dans un m´ elange inhomog` ene ` a l’aide du calcul diff´ erentiel et int´ egral.
Les principes d’optimisation en physique En fait, ce n’est qu’un des nombreux
exemples o` u les lois de la physique semblent ob´ eir `
a un principe d’optimisation. Toute
la m´ ecanique lagrangienne repose sur des id´ ees semblables, exploit´ ees dans le calcul des
variations. Nous donnons quelques exemples :
• Un cˆ able de haute tension tendu entre deux pylˆ ones d´ ecrit une courbe. Quelle est
cette courbe ? On peut calculer son ´ equation et voir que c’est une cat´ enaire, c’est` a-dire une courbe donn´ ee par le graphe d’un cosinus hyperbolique. Rappelons la
d´ efinition du cosinus hyperbolique :
cosh x =
e
x + e
−x
2
.
Pourquoi ? Parmi toutes les courbes entre les deux pylˆ ones de mˆ eme longueur, le
cˆ able de haute tension « choisit » la courbe qui minimise l’´ energie potentielle (voir
aussi la section 14.10 du chapitre 14).
• Si l’on fait tourner un liquide dans un cylindre `
a vitesse constante autour de
l’axe du cylindre, la surface du liquide est un parabolo¨ ıde circulaire. Ici on n’a
pas seulement de l’´ energie potentielle, mais aussi de l’´ energie cin´ etique. La solution physique du probl` eme doit minimiser le lagrangien qui est donn´ e par la
diff´ erence entre l’´ energie potentielle et l’´ energie cin´ etique. Ce calcul est fait dans
la section 14.11 du chapitre 14.
Revenons maintenant ` a la loi de la r´ efraction. Si l’on connaˆ ıt l’angle θ 1 avec la
normale dans le premier milieu, on peut calculer l’angle θ 2 avec la normale dans le
deuxi` eme milieu en utilisant
sin θ 2 =
v 2 sin θ 1
v 1
.
Mais cette ´ equation a-t-elle toujours une solution ? Si v 2 > v 1 et sin θ 1 >
v1
v2 , alors
v2 sin θ1
v1
> 1 et ne peut donc ˆ etre ´ egal au sinus d’un angle. Donc, si l’angle avec la
normale est trop grand, c’est-` a-dire si le rayon arrive de mani` ere trop oblique, il ne peut
pas p´ en´ etrer dans le second milieu et il est r´ efl´ echi. Comment ? Si l’on suit le principe
g´ en´ eral mis en ´ evidence plus haut, il doit, pour aller d’un point A ` a un point B, utiliser le
chemin le plus rapide entre les deux points parmi les chemins qui touchent la surface de
s´ eparation. Il doit donc ˆ etre r´ efl´ echi conform´ ement ` a la loi de la r´ eflexion, ` a savoir avec
un angle r´ efl´ echi ´ egal `
a l’angle d’incidence, l’angle d’incidence ´ etant l’angle d’arriv´ ee la
surface de d´ emarcation.
La fibre optique La fibre optique est un milieu transparent o` u se propage la lumi` ere.
Comme la vitesse de la lumi` ere y est moins grande que dans l’air, les rayons sont r´ efl´ echis
s’ils arrivent `
a la fronti` ere suffisamment inclin´ es (figure 15.6).
La fibre optique est souvent utilis´ ee dans les t´ el´ ecommunications haute vitesse et les
r´ eseaux locaux parce qu’elle permet de faire transiter en mˆ eme temps un grand nombre
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ouvre de nouveaux horizons. Par exemple, il nous permet de calculer la trajectoire d’un
rayon lumineux dans un m´ elange inhomog` ene ` a l’aide du calcul diff´ erentiel et int´ egral.
Les principes d’optimisation en physique En fait, ce n’est qu’un des nombreux
exemples o` u les lois de la physique semblent ob´ eir `
a un principe d’optimisation. Toute
la m´ ecanique lagrangienne repose sur des id´ ees semblables, exploit´ ees dans le calcul des
variations. Nous donnons quelques exemples :
• Un cˆ able de haute tension tendu entre deux pylˆ ones d´ ecrit une courbe. Quelle est
cette courbe ? On peut calculer son ´ equation et voir que c’est une cat´ enaire, c’est` a-dire une courbe donn´ ee par le graphe d’un cosinus hyperbolique. Rappelons la
d´ efinition du cosinus hyperbolique :
cosh x =
e
x + e
−x
2
.
Pourquoi ? Parmi toutes les courbes entre les deux pylˆ ones de mˆ eme longueur, le
cˆ able de haute tension « choisit » la courbe qui minimise l’´ energie potentielle (voir
aussi la section 14.10 du chapitre 14).
• Si l’on fait tourner un liquide dans un cylindre `
a vitesse constante autour de
l’axe du cylindre, la surface du liquide est un parabolo¨ ıde circulaire. Ici on n’a
pas seulement de l’´ energie potentielle, mais aussi de l’´ energie cin´ etique. La solution physique du probl` eme doit minimiser le lagrangien qui est donn´ e par la
diff´ erence entre l’´ energie potentielle et l’´ energie cin´ etique. Ce calcul est fait dans
la section 14.11 du chapitre 14.
Revenons maintenant ` a la loi de la r´ efraction. Si l’on connaˆ ıt l’angle θ 1 avec la
normale dans le premier milieu, on peut calculer l’angle θ 2 avec la normale dans le
deuxi` eme milieu en utilisant
sin θ 2 =
v 2 sin θ 1
v 1
.
Mais cette ´ equation a-t-elle toujours une solution ? Si v 2 > v 1 et sin θ 1 >
v1
v2 , alors
v2 sin θ1
v1
> 1 et ne peut donc ˆ etre ´ egal au sinus d’un angle. Donc, si l’angle avec la
normale est trop grand, c’est-` a-dire si le rayon arrive de mani` ere trop oblique, il ne peut
pas p´ en´ etrer dans le second milieu et il est r´ efl´ echi. Comment ? Si l’on suit le principe
g´ en´ eral mis en ´ evidence plus haut, il doit, pour aller d’un point A ` a un point B, utiliser le
chemin le plus rapide entre les deux points parmi les chemins qui touchent la surface de
s´ eparation. Il doit donc ˆ etre r´ efl´ echi conform´ ement ` a la loi de la r´ eflexion, ` a savoir avec
un angle r´ efl´ echi ´ egal `
a l’angle d’incidence, l’angle d’incidence ´ etant l’angle d’arriv´ ee la
surface de d´ emarcation.
La fibre optique La fibre optique est un milieu transparent o` u se propage la lumi` ere.
Comme la vitesse de la lumi` ere y est moins grande que dans l’air, les rayons sont r´ efl´ echis
s’ils arrivent `
a la fronti` ere suffisamment inclin´ es (figure 15.6).
La fibre optique est souvent utilis´ ee dans les t´ el´ ecommunications haute vitesse et les
r´ eseaux locaux parce qu’elle permet de faire transiter en mˆ eme temps un grand nombre