15.1 Les lois de r´ eflexion et de r´ efraction de la lumi` ere
517
|A
P | + |P B| = |A
B| < |A
Q| + |QB| = |AQ| + |QB|.
Lemme 15.2 On consid` ere une droite (D), un point P de (D) et deux points A et B
situ´ es de part et d’autre de (D) comme sur la figure 15.3. Si
AP R =
BP S, alors A, P
et B sont align´ es.
Fig. 15.3. Si
AP R =
BP S, alors A, P et B sont align´ es.
Preuve Dans la figure 15.3, prolongeons le segment P A en une droite (D
). Cette
droite passe par P . Comme des angles oppos´ es par le sommet sont ´ egaux, sa partie
inf´ erieure fait un angle ´ egal `
a
AP R avec P S. Mais le segment P B a aussi cette propri´ et´ e.
Donc, P B est inclus dans (D
).
Remarque La preuve g´ eom´ etrique du th´ eor` eme 15.1 est extrˆ emement ´ el´ egante. Elle
utilise un principe simple : le segment de droite joignant deux points est le plus court
chemin entre ces deux points. Nous verrons que les id´ ees de preuve que nous avons
introduites ici se retrouvent dans les preuves de la propri´ et´ e remarquable de la parabole,
de l’ellipse et de l’hyperbole (section 15.2).
La loi de la r´ efraction Cette deuxi` eme loi permet de calculer la d´ eviation d’un rayon
lumineux qui passe d’un milieu homog` ene o` u la lumi` ere se propage ` a une vitesse v 1 ` a
un milieu homog` ene o` u la lumi` ere se propage ` a une vitesse v 2 . Si les angles du rayon
avec la normale ` a la surface de d´ emarcation des deux milieux sont θ 1 et θ 2 (figure 15.4),
alors la loi de la r´ efraction nous donne
sin θ 1
sin θ 2
=
v 1
v 2
.
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|A
P | + |P B| = |A
B| < |A
Q| + |QB| = |AQ| + |QB|.
Lemme 15.2 On consid` ere une droite (D), un point P de (D) et deux points A et B
situ´ es de part et d’autre de (D) comme sur la figure 15.3. Si
AP R =
BP S, alors A, P
et B sont align´ es.
Fig. 15.3. Si
AP R =
BP S, alors A, P et B sont align´ es.
Preuve Dans la figure 15.3, prolongeons le segment P A en une droite (D
). Cette
droite passe par P . Comme des angles oppos´ es par le sommet sont ´ egaux, sa partie
inf´ erieure fait un angle ´ egal `
a
AP R avec P S. Mais le segment P B a aussi cette propri´ et´ e.
Donc, P B est inclus dans (D
).
Remarque La preuve g´ eom´ etrique du th´ eor` eme 15.1 est extrˆ emement ´ el´ egante. Elle
utilise un principe simple : le segment de droite joignant deux points est le plus court
chemin entre ces deux points. Nous verrons que les id´ ees de preuve que nous avons
introduites ici se retrouvent dans les preuves de la propri´ et´ e remarquable de la parabole,
de l’ellipse et de l’hyperbole (section 15.2).
La loi de la r´ efraction Cette deuxi` eme loi permet de calculer la d´ eviation d’un rayon
lumineux qui passe d’un milieu homog` ene o` u la lumi` ere se propage ` a une vitesse v 1 ` a
un milieu homog` ene o` u la lumi` ere se propage ` a une vitesse v 2 . Si les angles du rayon
avec la normale ` a la surface de d´ emarcation des deux milieux sont θ 1 et θ 2 (figure 15.4),
alors la loi de la r´ efraction nous donne
sin θ 1
sin θ 2
=
v 1
v 2
.