516
15 Flashs-science
Un principe simple permet de reformuler la loi de la r´ eflexion : la lumi` ere choisit le
chemin le plus court parmi tous les chemins allant du point A au point B en passant
par au moins un point du miroir. Nous allons montrer que ce principe contient la loi de
la r´ eflexion.
Th´ eor` eme 15.1 Soient A et B deux points situ´ es d’un mˆ eme cˆ ot´ e d’un miroir.
Consid´ erons un rayon allant du point A au point B en touchant le miroir en un point
P . Alors, le plus court chemin qu’il puisse prendre est celui pour lequel AP et P B font
des angles ´ egaux avec le miroir comme dans la loi de la r´ eflexion. Donc, le principe
implique la loi de la r´ eflexion.
Preuve Soit Q un point du miroir. Consid´ erons un chemin allant de A ` a B constitu´ e
de l’union des deux segments AQ et QB comme sur la figure 15.2. La longueur du chemin
parcouru par le rayon est ´ egale `
a |AQ| + |BQ| (c’est-` a-dire la longueur du segment AQ
plus la longueur du segment QB). Soit P le point du miroir tel que AP et BP font des
angles ´ egaux avec le miroir. Soit A
le sym´ etrique de A par rapport au miroir. Donc,
AA
est perpendiculaire au miroir qu’il coupe en R. On a aussi |AR| = |A
R|. Les deux
triangles ARQ et A
RQ sont congrus, car ils ont deux cˆ ot´ es ´ egaux, |AR| = |A
R| et RQ
de part et d’autre d’un angle ´ egal
ARQ =
A RQ =
π
2 . Par cons´ equent, |AQ| = |A
Q|.
Alors, la longueur du chemin parcouru par le rayon est ´ egale `
a |A
Q|+ |QB|. Comparons
Fig. 15.2. La loi de la r´ eflexion et le chemin le plus court
avec le chemin particulier pour lequel Q = P : on parcourt AP suivi de P B. Pour Q = P ,
le calcul pr´ ec´ edent montre que |AP | = |A
P |. Alors, la longueur du chemin parcouru
par le rayon, soit |AP | + |P B|, est ´ egale `
a la longueur du chemin |A
P | + |P B|. On a
d’une part
AP R =
BP S (par hypoth` ese) et d’autre part
AP R =
A P R, car les deux
triangles AP R et A
P R sont congrus. Ceci donne
BP S =
A P R. On en d´ eduit que P
est sur le segment A
B par application du lemme 15.2 ci-dessous. Maintenant, puisque
P est sur le segment A
B, alors |A
P | + |P B| = |A
B|. Comme le segment de droite
A
B est le plus court chemin entre A
et B, on a, pour Q = P ,
15 Flashs-science
Un principe simple permet de reformuler la loi de la r´ eflexion : la lumi` ere choisit le
chemin le plus court parmi tous les chemins allant du point A au point B en passant
par au moins un point du miroir. Nous allons montrer que ce principe contient la loi de
la r´ eflexion.
Th´ eor` eme 15.1 Soient A et B deux points situ´ es d’un mˆ eme cˆ ot´ e d’un miroir.
Consid´ erons un rayon allant du point A au point B en touchant le miroir en un point
P . Alors, le plus court chemin qu’il puisse prendre est celui pour lequel AP et P B font
des angles ´ egaux avec le miroir comme dans la loi de la r´ eflexion. Donc, le principe
implique la loi de la r´ eflexion.
Preuve Soit Q un point du miroir. Consid´ erons un chemin allant de A ` a B constitu´ e
de l’union des deux segments AQ et QB comme sur la figure 15.2. La longueur du chemin
parcouru par le rayon est ´ egale `
a |AQ| + |BQ| (c’est-` a-dire la longueur du segment AQ
plus la longueur du segment QB). Soit P le point du miroir tel que AP et BP font des
angles ´ egaux avec le miroir. Soit A
le sym´ etrique de A par rapport au miroir. Donc,
AA
est perpendiculaire au miroir qu’il coupe en R. On a aussi |AR| = |A
R|. Les deux
triangles ARQ et A
RQ sont congrus, car ils ont deux cˆ ot´ es ´ egaux, |AR| = |A
R| et RQ
de part et d’autre d’un angle ´ egal
ARQ =
A RQ =
π
2 . Par cons´ equent, |AQ| = |A
Q|.
Alors, la longueur du chemin parcouru par le rayon est ´ egale `
a |A
Q|+ |QB|. Comparons
Fig. 15.2. La loi de la r´ eflexion et le chemin le plus court
avec le chemin particulier pour lequel Q = P : on parcourt AP suivi de P B. Pour Q = P ,
le calcul pr´ ec´ edent montre que |AP | = |A
P |. Alors, la longueur du chemin parcouru
par le rayon, soit |AP | + |P B|, est ´ egale `
a la longueur du chemin |A
P | + |P B|. On a
d’une part
AP R =
BP S (par hypoth` ese) et d’autre part
AP R =
A P R, car les deux
triangles AP R et A
P R sont congrus. Ceci donne
BP S =
A P R. On en d´ eduit que P
est sur le segment A
B par application du lemme 15.2 ci-dessous. Maintenant, puisque
P est sur le segment A
B, alors |A
P | + |P B| = |A
B|. Comme le segment de droite
A
B est le plus court chemin entre A
et B, on a, pour Q = P ,