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14 Le calcul des variations
Indice : le lieu g´ eom´ etrique des points P sous lesquels on voit un segment AB
sous un angle donn´ e θ est la r´ eunion de deux arcs de cercle (figure 14.20). Chacun
des arcs est appel´ e arc capable de l’angle θ sur le segment AB. Le point P est ` a
l’intersection de trois arcs de cercle : les trois arcs capables de l’angle
2π
3 construits
sur les trois segments AB, AC, BC.
Fig. 14.20. Arcs capables de l’angle θ sur le segment AB (exercice 18).
e) Si les trois angles du triangle ABC sont inf´ erieurs `
a
2π
3 , montrer que les trois
droites de la construction d’un point de Fermat se coupent `
a angle de
π
3 . Indice : soit A
(respectivement B
, C
) le troisi` eme sommet du triangle ´ equilat´ eral
construit sur BC (respectivement AC, AB). Vous devez montrer que les trois vecteurs
− − →
AA
,
− − →
BB
,
− − →
CC
se coupent ` a angle de
2π
3 . Pour ce faire, calculez les produits
scalaires des vecteurs deux `
a deux. Vous pouvez sans perte de g´ en´ eralit´ e, supposer
que A = (0, 0), B = (1, 0) et C = (a, b).
f) En d´ eduire que le point d’intersection des trois droites est le point de Fermat
s’il est ` a l’int´ erieur du triangle.
g) Utiliser le calcul de e) pour montrer que
|AA
| = |BB
| = |CC
|.
19. On consid` ere le probl` eme de l’arbre minimal de Steiner pour quatre points situ´ es
aux quatre sommets du carr´ e. La solution optimale apparaˆ ıt ` a la figure 14.21 dans
laquelle tous les angles sont de 120 degr´ es. Montrer que ce r´ eseau est le plus court
possible est difficile. Nous nous contenterons d’une sous-question.