14.12 Exercices
511
Fig. 14.21. Arbre minimal de Steiner pour quatre points situ´ es aux qatre sommets du carr´ e
(exercice 19)
a) Montrer que la longueur de ce r´ eseau est inf´ erieure ` a la somme des longueurs
des deux diagonales.
b) Pouvez-vous deviner l’arbre minimal de Steiner pour quatre points situ´ es aux
quatre sommets d’un rectangle ?
Les probl` emes isop´ erim´ etriques
20. On veut maximiser l’aire limit´ ee d’une part par le graphe d’une fonction y(x) sur
[x 1 , x 2 ] s’annulant en x 1 et x 2 , d’autre part par le segment [x 1 , x 2 ] de l’axe des x,
sous la condition que le p´ erim` etre de la r´ egion est L (voir l’exemple 14.17 au d´ ebut
de la section 14.10). D´ eriver l’´ equation d’Euler–Lagrange pour la fonctionnelle M
associ´ ee par le th´ eor` eme 14.18. R´ esoudre l’´ equation et v´ erifier que sa solution est
un arc de cercle. Quelle condition doivent remplir L, x 1 et x 2 ?
21. La forme des cˆ ables d’un pont suspendu Contrairement ` a la chaˆ ınette, les
cˆ ables d’un pont suspendu ne prennent pas la forme d’une cat´ enaire, mais plutˆ ot
celle d’une parabole. La diff´ erence est que le cˆ able est de poids n´ egligeable par
rapport au tablier du pont.
a) Faire la mod´ elisation des forces comme dans l’exemple 14.20 et en d´ eduire
l’´ equation diff´ erentielle satisfaite par la forme de la courbe : ici le poids P x est
proportionnel `
a dx et non ` a la longueur ds de l’´ el´ ement de courbe correspondant
` a dx.
b) Montrer que la solution est une parabole.
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Fig. 14.21. Arbre minimal de Steiner pour quatre points situ´ es aux qatre sommets du carr´ e
(exercice 19)
a) Montrer que la longueur de ce r´ eseau est inf´ erieure ` a la somme des longueurs
des deux diagonales.
b) Pouvez-vous deviner l’arbre minimal de Steiner pour quatre points situ´ es aux
quatre sommets d’un rectangle ?
Les probl` emes isop´ erim´ etriques
20. On veut maximiser l’aire limit´ ee d’une part par le graphe d’une fonction y(x) sur
[x 1 , x 2 ] s’annulant en x 1 et x 2 , d’autre part par le segment [x 1 , x 2 ] de l’axe des x,
sous la condition que le p´ erim` etre de la r´ egion est L (voir l’exemple 14.17 au d´ ebut
de la section 14.10). D´ eriver l’´ equation d’Euler–Lagrange pour la fonctionnelle M
associ´ ee par le th´ eor` eme 14.18. R´ esoudre l’´ equation et v´ erifier que sa solution est
un arc de cercle. Quelle condition doivent remplir L, x 1 et x 2 ?
21. La forme des cˆ ables d’un pont suspendu Contrairement ` a la chaˆ ınette, les
cˆ ables d’un pont suspendu ne prennent pas la forme d’une cat´ enaire, mais plutˆ ot
celle d’une parabole. La diff´ erence est que le cˆ able est de poids n´ egligeable par
rapport au tablier du pont.
a) Faire la mod´ elisation des forces comme dans l’exemple 14.20 et en d´ eduire
l’´ equation diff´ erentielle satisfaite par la forme de la courbe : ici le poids P x est
proportionnel `
a dx et non ` a la longueur ds de l’´ el´ ement de courbe correspondant
` a dx.
b) Montrer que la solution est une parabole.