14.12 Exercices
509
o` u f x =
∂f
∂x et f y =
∂f
∂y .
b) Supposons que le domaine D soit un rectangle [a, b] × [c, d]. Montrer qu’une
fonction f minimisant I et satisfaisant aux conditions aux limites
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
f (a, y) = g 1 (y),
f (b, y) = g 2 (y),
f (x, c) = g 3 (x),
f (x, d) = g 4 (x),
o` u g 1 , g 2 , g 3 , g 4 sont des fonctions satisfaisant ` a g 1 (c) = g 3 (a), g 1 (d) = g 4 (a),
g 2 (c) = g 3 (b), g 2 (d) = g 4 (b) satisfait ` a l’´ equation d’Euler–Lagrange
f xx (1 + f
2
y ) + f yy (1 + f
2
x ) − 2f x f y f xy = 0.
(14.43)
Suggestion Copier la preuve du th´ eor` eme 14.4 : supposer que l’int´ egrale atteint
un minimum en f
∗ , prendre une variation F = f
∗ + g telle que g s’annule au bord
de D. Alors I devient une fonction de . Poser que sa d´ eriv´ ee en = 0 est nulle.
Il faut ensuite travailler sur cette d´ eriv´ ee et transformer les int´ egrales doubles en
int´ egrales it´ er´ ees pour pouvoir appliquer la formule de l’int´ egrale par parties. Sur
une partie de la fonction ` a int´ egrer, il faut int´ egrer en x, puis en y, et sur une
autre partie on doit utiliser l’ordre inverse. Il y a un peu de travail. . .
17. Montrer que l’h´ elico¨ ıde d’´ equation z = arctan
y
x est une surface minimale. Pour
cela, vous devez montrer que la fonction f (x, y) = arctan
y
x satisfait ` a l’´ equation
(14.43).
Les trois villes et les films de savon. Le probl` eme de l’arbre minimal de
Steiner.
18. a) Soient A, B, C les trois sommets d’un triangle et P le point de Fermat du
triangle, c’est-` a-dire le point (x, y) tel que |P A| + |P B| + |P C| soit minimum.
Montrer qu’on a
−→
P A
|P A|
+
− − →
P B
|P B|
+
− − →
P C
|P C|
= 0.
Indice : prendre les d´ eriv´ ees partielles par rapport ` a x et `
a y.
b) Montrer que la seule mani` ere d’avoir trois vecteurs unitaires dont la somme
est nulle est que les trois vecteurs forment des angles de
2π
3 .
c) Montrer que, dans la construction de la figure 14.12, les trois droites s’intersectent en un mˆ eme point et que ce point est ` a l’int´ erieur du triangle si et
seulement si les trois angles du triangle sont inf´ erieurs ` a
2π
3 .
d) Si les trois angles du triangle ABC sont inf´ erieurs ` a
2π
3 , montrer qu’il existe
un unique point P ` a l’int´ erieur du triangle tel que les vecteurs
−→
P A,
− − →
P B,
− − →
P C se
coupent ` a angle de
2π
3 .
509
o` u f x =
∂f
∂x et f y =
∂f
∂y .
b) Supposons que le domaine D soit un rectangle [a, b] × [c, d]. Montrer qu’une
fonction f minimisant I et satisfaisant aux conditions aux limites
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
f (a, y) = g 1 (y),
f (b, y) = g 2 (y),
f (x, c) = g 3 (x),
f (x, d) = g 4 (x),
o` u g 1 , g 2 , g 3 , g 4 sont des fonctions satisfaisant ` a g 1 (c) = g 3 (a), g 1 (d) = g 4 (a),
g 2 (c) = g 3 (b), g 2 (d) = g 4 (b) satisfait ` a l’´ equation d’Euler–Lagrange
f xx (1 + f
2
y ) + f yy (1 + f
2
x ) − 2f x f y f xy = 0.
(14.43)
Suggestion Copier la preuve du th´ eor` eme 14.4 : supposer que l’int´ egrale atteint
un minimum en f
∗ , prendre une variation F = f
∗ + g telle que g s’annule au bord
de D. Alors I devient une fonction de . Poser que sa d´ eriv´ ee en = 0 est nulle.
Il faut ensuite travailler sur cette d´ eriv´ ee et transformer les int´ egrales doubles en
int´ egrales it´ er´ ees pour pouvoir appliquer la formule de l’int´ egrale par parties. Sur
une partie de la fonction ` a int´ egrer, il faut int´ egrer en x, puis en y, et sur une
autre partie on doit utiliser l’ordre inverse. Il y a un peu de travail. . .
17. Montrer que l’h´ elico¨ ıde d’´ equation z = arctan
y
x est une surface minimale. Pour
cela, vous devez montrer que la fonction f (x, y) = arctan
y
x satisfait ` a l’´ equation
(14.43).
Les trois villes et les films de savon. Le probl` eme de l’arbre minimal de
Steiner.
18. a) Soient A, B, C les trois sommets d’un triangle et P le point de Fermat du
triangle, c’est-` a-dire le point (x, y) tel que |P A| + |P B| + |P C| soit minimum.
Montrer qu’on a
−→
P A
|P A|
+
− − →
P B
|P B|
+
− − →
P C
|P C|
= 0.
Indice : prendre les d´ eriv´ ees partielles par rapport ` a x et `
a y.
b) Montrer que la seule mani` ere d’avoir trois vecteurs unitaires dont la somme
est nulle est que les trois vecteurs forment des angles de
2π
3 .
c) Montrer que, dans la construction de la figure 14.12, les trois droites s’intersectent en un mˆ eme point et que ce point est ` a l’int´ erieur du triangle si et
seulement si les trois angles du triangle sont inf´ erieurs ` a
2π
3 .
d) Si les trois angles du triangle ABC sont inf´ erieurs ` a
2π
3 , montrer qu’il existe
un unique point P ` a l’int´ erieur du triangle tel que les vecteurs
−→
P A,
− − →
P B,
− − →
P C se
coupent ` a angle de
2π
3 .