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14 Le calcul des variations
un logiciel pour une partie des calculs. Le tunnel se situe dans le plan passant
par le centre de la Terre et les deux villes. On approxime le rayon de la Terre ` a
R = 6365 km.
a) New York est ` a environ 41 degr´ es de latitude nord et 73 degr´ es de longitude
ouest. Los Angeles est ` a environ 34 degr´ es de latitude nord et 118 degr´ es de
longitude ouest. Calculer l’angle φ entre les deux vecteurs joignant le centre de la
Terre ` a ces deux villes.
b) ´
Etant donn´ e une hypocyclo¨ ıde d’´ equation (14.18) et le point initial P 0 = (R, 0)
correspondant ` a θ = 0, calculer la premi` ere valeur positive θ 0 de θ pour laquelle
P θ0 = (x(θ 0 ), y(θ 0 )) est sur le cercle de rayon R. Calculer l’angle ψ entre les
vecteurs
− − →
OP 0 et
− − →
OP θ0 .
c) En mettant φ = ψ, calculer le param` etre b de l’hypocyclo¨ ıde correspondant
au tunnel de New-York `
a Los Angeles.
d) Calculer finalement le temps de parcours de New York `
a Los Angeles par un
tunnel en forme d’hypocyclo¨ ıde les reliant, sous le seul effet de la gravit´ e. (Vous
pouvez faire le calcul ou encore, utiliser le r´ esultat de l’exercice 12.)
e) Calculer la profondeur maximale du tunnel.
f) Calculer la vitesse maximum atteinte au point le plus profond du tunnel.
Le principe de Hamilton
14. a) L’´ energie potentielle emmagasin´ ee dans un ressort est proportionnelle au carr´ e
de sa d´ eformation lin´ eaire x par rapport `
a sa position d’´ equilibre : V (x) =
1
2 kx
2
o` u k est une constante. Ceci est la loi de Hooke. On suppose qu’une extr´ emit´ e d’un
ressort sans masse est fix´ ee ` a un mur et qu’une masse m est fix´ ee ` a l’extr´ emit´ e
libre. La position x de la masse m est 0 lorsque le ressort est `
a l’´ equilibre. ´
Ecrire
le lagrangien (et l’action) de cette masse.
b) Montrer que le principe de Hamilton redonne bien l’´ equation d’une masse
attach´ ee ` a un ressort, x
= −kx/m, o` u x
est la d´ eriv´ ee seconde de la position de
la masse.
c) Montrer que, si la particule est relˆ ach´ ee sans vitesse ` a la position x = 1 `
a
l’instant t = 0, sa trajectoire est d´ ecrite par x(t) = cos(t
k/m).
Pellicules de savon
15. Montrer que l’aire d’une surface de r´ evolution engendr´ ee par une courbe z = f (x),
x ∈ [a, b], tournant autour de l’axe des x est donn´ ee par
2π
b
a
f
1 + f 2 dx.
16. a) Montrer que l’aire d’une surface donn´ ee par le graphe d’une fonction z =
f (x, y) au-dessus d’une r´ egion D est donn´ ee par l’int´ egrale double
I =
D
1 + f 2
x + f 2
y dxdy,
14 Le calcul des variations
un logiciel pour une partie des calculs. Le tunnel se situe dans le plan passant
par le centre de la Terre et les deux villes. On approxime le rayon de la Terre ` a
R = 6365 km.
a) New York est ` a environ 41 degr´ es de latitude nord et 73 degr´ es de longitude
ouest. Los Angeles est ` a environ 34 degr´ es de latitude nord et 118 degr´ es de
longitude ouest. Calculer l’angle φ entre les deux vecteurs joignant le centre de la
Terre ` a ces deux villes.
b) ´
Etant donn´ e une hypocyclo¨ ıde d’´ equation (14.18) et le point initial P 0 = (R, 0)
correspondant ` a θ = 0, calculer la premi` ere valeur positive θ 0 de θ pour laquelle
P θ0 = (x(θ 0 ), y(θ 0 )) est sur le cercle de rayon R. Calculer l’angle ψ entre les
vecteurs
− − →
OP 0 et
− − →
OP θ0 .
c) En mettant φ = ψ, calculer le param` etre b de l’hypocyclo¨ ıde correspondant
au tunnel de New-York `
a Los Angeles.
d) Calculer finalement le temps de parcours de New York `
a Los Angeles par un
tunnel en forme d’hypocyclo¨ ıde les reliant, sous le seul effet de la gravit´ e. (Vous
pouvez faire le calcul ou encore, utiliser le r´ esultat de l’exercice 12.)
e) Calculer la profondeur maximale du tunnel.
f) Calculer la vitesse maximum atteinte au point le plus profond du tunnel.
Le principe de Hamilton
14. a) L’´ energie potentielle emmagasin´ ee dans un ressort est proportionnelle au carr´ e
de sa d´ eformation lin´ eaire x par rapport `
a sa position d’´ equilibre : V (x) =
1
2 kx
2
o` u k est une constante. Ceci est la loi de Hooke. On suppose qu’une extr´ emit´ e d’un
ressort sans masse est fix´ ee ` a un mur et qu’une masse m est fix´ ee ` a l’extr´ emit´ e
libre. La position x de la masse m est 0 lorsque le ressort est `
a l’´ equilibre. ´
Ecrire
le lagrangien (et l’action) de cette masse.
b) Montrer que le principe de Hamilton redonne bien l’´ equation d’une masse
attach´ ee ` a un ressort, x
= −kx/m, o` u x
est la d´ eriv´ ee seconde de la position de
la masse.
c) Montrer que, si la particule est relˆ ach´ ee sans vitesse ` a la position x = 1 `
a
l’instant t = 0, sa trajectoire est d´ ecrite par x(t) = cos(t
k/m).
Pellicules de savon
15. Montrer que l’aire d’une surface de r´ evolution engendr´ ee par une courbe z = f (x),
x ∈ [a, b], tournant autour de l’axe des x est donn´ ee par
2π
b
a
f
1 + f 2 dx.
16. a) Montrer que l’aire d’une surface donn´ ee par le graphe d’une fonction z =
f (x, y) au-dessus d’une r´ egion D est donn´ ee par l’int´ egrale double
I =
D
1 + f 2
x + f 2
y dxdy,