14.12 Exercices
507
11. a) Dans le cas b =
1
2 , v´ erifier que le mouvement d’une particule dans le tunnel
donn´ e par l’hypocyclo¨ ıde d’´ equation (14.18) est le mˆ eme que celui des oscillations
d’un ressort. (Il vous faudra calculer la d´ ependance de la position de la particule
en fonction du temps.)
b) En d´ eduire que la p´ eriode est ind´ ependante de la hauteur du point de chute.
c) Donner le temps de parcours d’un point mat´ eriel partant d’un point de la
Terre P pour aller au point antipodal −P , sous la seule action de la gravit´ e, en
empruntant un tunnel rectiligne passant par le centre de la Terre. (Le rayon de la
Terre est d’environ 6365 km.)
12. V´ erifier que, quelle que soit la valeur de b, si on laisse aller, sans vitesse initiale,
la particule `
a partir d’une hauteur h dans un tunnel en forme d’hypocyclo¨ ıde,
alors la particule effectue des oscillations isochrones, c’est-` a-dire dont la p´ eriode
est ind´ ependante de la hauteur h du point de d´ epart (voir la propri´ et´ e analogue
´ etudi´ ee dans la section 14.7). Donner la valeur de cette p´ eriode.
13. Cet exercice a pour but de calculer le temps de parcours de New-York ` a Los
Angeles par un tunnel en forme d’hypocyclo¨ ıde. Vous voudrez peut-ˆ etre utiliser
Fig. 14.18. Les deux roues carr´ ees d’une bicyclette se promenant sur des bosses en forme de
cat´ enaires invers´ ees (exercice 9).
Fig. 14.19. La roue tournant sur la piste dans l’exercice 9. On a mis en ´ evidence un rayon.
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11. a) Dans le cas b =
1
2 , v´ erifier que le mouvement d’une particule dans le tunnel
donn´ e par l’hypocyclo¨ ıde d’´ equation (14.18) est le mˆ eme que celui des oscillations
d’un ressort. (Il vous faudra calculer la d´ ependance de la position de la particule
en fonction du temps.)
b) En d´ eduire que la p´ eriode est ind´ ependante de la hauteur du point de chute.
c) Donner le temps de parcours d’un point mat´ eriel partant d’un point de la
Terre P pour aller au point antipodal −P , sous la seule action de la gravit´ e, en
empruntant un tunnel rectiligne passant par le centre de la Terre. (Le rayon de la
Terre est d’environ 6365 km.)
12. V´ erifier que, quelle que soit la valeur de b, si on laisse aller, sans vitesse initiale,
la particule `
a partir d’une hauteur h dans un tunnel en forme d’hypocyclo¨ ıde,
alors la particule effectue des oscillations isochrones, c’est-` a-dire dont la p´ eriode
est ind´ ependante de la hauteur h du point de d´ epart (voir la propri´ et´ e analogue
´ etudi´ ee dans la section 14.7). Donner la valeur de cette p´ eriode.
13. Cet exercice a pour but de calculer le temps de parcours de New-York ` a Los
Angeles par un tunnel en forme d’hypocyclo¨ ıde. Vous voudrez peut-ˆ etre utiliser
Fig. 14.18. Les deux roues carr´ ees d’une bicyclette se promenant sur des bosses en forme de
cat´ enaires invers´ ees (exercice 9).
Fig. 14.19. La roue tournant sur la piste dans l’exercice 9. On a mis en ´ evidence un rayon.