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14 Le calcul des variations
b) Montrer que si
y2−y1
x2−x1 <
2
π , alors le mobile en mouvement sur la brachistochrone
descend plus bas que y 2 avant de remonter jusqu’en y 2 (pour aller rapidement, le
mobile a int´ erˆ et ` a prendre de l’´ elan avant de remonter). V´ erifier qu’on a mˆ eme une
solution valide pour y 1 = y 2 . (Ainsi, on peut se d´ eplacer horizontalement de (x 1 , y)
` a (x 2 , y) mˆ eme si la vitesse initiale est nulle, et la cyclo¨ ıde est la fa¸ con la plus rapide
de le faire.)
7. a) Calculer le temps de descente de (0, 0) ` a P θ = (a(θ − sin θ), a(1 − cos θ)) par
la droite joignant les deux points. (Utiliser la formule (14.2) en rempla¸ cant y par
l’´ equation de la droite.)
b) Comparer avec le temps de descente par la courbe brachistochrone et voir que
ce temps est toujours plus long.
c) Montrer que le temps mis pour parcourir en ligne droite la distance entre (0, 0)
et P θ tend vers l’infini lorsque θ → 2π.
8. On cherche le chemin le plus rapide pour aller de (0, 0) `
a la droite verticale x = x 2 .
On sait qu’on doit suivre un arc de cyclo¨ ıde (14.19), mais on ne sait pas pour quelle
valeur de a.
a) Montrer que, pour a fix´ e, le temps de parcours suivant la cyclo¨ ıde (14.19) est
a
g θ, o` u θ est d´ etermin´ e implicitement par a(θ − sin θ) = x 2 .
b) Montrer que le minimum est en θ = π, c’est-` a-dire quand la cyclo¨ ıde coupe la
droite x = x 2 horizontalement.
Un dispositif isochrone
9. Voici une autre jolie propri´ et´ e de la cat´ enaire invers´ ee. Pour faire le probl` eme, il
faut vous inspirer du calcul du dispositif isochrone (section 14.7).
a) Montrer que la cat´ enaire invers´ ee y = − cosh x +
√
2 coupe l’axe des x aux
points x = ln(
√
2 − 1) et x = ln(
√
2 + 1). Montrer que la pente est 1 au point
x = ln(
√
2 − 1) et −1 au point x = ln(
√
2 + 1).
b) Montrer que l’arc de courbe entre ces deux points est de longueur 2.
c) On construit une piste avec une succession de tels arcs (figure 14.18) et on
consid` ere une bicyclette avec des roues carr´ ees de cˆ ot´ e 2. Montrer que le centre des
roues reste toujours `
a la hauteur
√
2. Suggestion : consid´ erer une seule roue carr´ ee
qui roule sans frottement sur la piste (figure 14.19). Au d´ epart, un des coins de la
roue est situ´ e en (ln(
√
2 − 1), 0). La roue est donc tangente ` a la piste en ce point.
Le tunnel le plus rapide
10. On consid` ere un cercle fixe x
2 + y
2 = R
2 de rayon R et un cercle de rayon
a < R roulant sans glisser `
a l’int´ erieur du cercle de rayon R. Au d´ epart, les deux
cercles sont tangents en P = (R, 0). Montrer que le point P d´ ecrit l’hypocyclo¨ ıde
d’´ equation (14.18) o` u b =
a
R .
14 Le calcul des variations
b) Montrer que si
y2−y1
x2−x1 <
2
π , alors le mobile en mouvement sur la brachistochrone
descend plus bas que y 2 avant de remonter jusqu’en y 2 (pour aller rapidement, le
mobile a int´ erˆ et ` a prendre de l’´ elan avant de remonter). V´ erifier qu’on a mˆ eme une
solution valide pour y 1 = y 2 . (Ainsi, on peut se d´ eplacer horizontalement de (x 1 , y)
` a (x 2 , y) mˆ eme si la vitesse initiale est nulle, et la cyclo¨ ıde est la fa¸ con la plus rapide
de le faire.)
7. a) Calculer le temps de descente de (0, 0) ` a P θ = (a(θ − sin θ), a(1 − cos θ)) par
la droite joignant les deux points. (Utiliser la formule (14.2) en rempla¸ cant y par
l’´ equation de la droite.)
b) Comparer avec le temps de descente par la courbe brachistochrone et voir que
ce temps est toujours plus long.
c) Montrer que le temps mis pour parcourir en ligne droite la distance entre (0, 0)
et P θ tend vers l’infini lorsque θ → 2π.
8. On cherche le chemin le plus rapide pour aller de (0, 0) `
a la droite verticale x = x 2 .
On sait qu’on doit suivre un arc de cyclo¨ ıde (14.19), mais on ne sait pas pour quelle
valeur de a.
a) Montrer que, pour a fix´ e, le temps de parcours suivant la cyclo¨ ıde (14.19) est
a
g θ, o` u θ est d´ etermin´ e implicitement par a(θ − sin θ) = x 2 .
b) Montrer que le minimum est en θ = π, c’est-` a-dire quand la cyclo¨ ıde coupe la
droite x = x 2 horizontalement.
Un dispositif isochrone
9. Voici une autre jolie propri´ et´ e de la cat´ enaire invers´ ee. Pour faire le probl` eme, il
faut vous inspirer du calcul du dispositif isochrone (section 14.7).
a) Montrer que la cat´ enaire invers´ ee y = − cosh x +
√
2 coupe l’axe des x aux
points x = ln(
√
2 − 1) et x = ln(
√
2 + 1). Montrer que la pente est 1 au point
x = ln(
√
2 − 1) et −1 au point x = ln(
√
2 + 1).
b) Montrer que l’arc de courbe entre ces deux points est de longueur 2.
c) On construit une piste avec une succession de tels arcs (figure 14.18) et on
consid` ere une bicyclette avec des roues carr´ ees de cˆ ot´ e 2. Montrer que le centre des
roues reste toujours `
a la hauteur
√
2. Suggestion : consid´ erer une seule roue carr´ ee
qui roule sans frottement sur la piste (figure 14.19). Au d´ epart, un des coins de la
roue est situ´ e en (ln(
√
2 − 1), 0). La roue est donc tangente ` a la piste en ce point.
Le tunnel le plus rapide
10. On consid` ere un cercle fixe x
2 + y
2 = R
2 de rayon R et un cercle de rayon
a < R roulant sans glisser `
a l’int´ erieur du cercle de rayon R. Au d´ epart, les deux
cercles sont tangents en P = (R, 0). Montrer que le point P d´ ecrit l’hypocyclo¨ ıde
d’´ equation (14.18) o` u b =
a
R .