14.12 Exercices
505
et de donner `
a f sa forme d´ efinitive,
f (r) =
ω
2 r
2
2g
−
ω
2 R
2
4g
+ h.
Nous avons donc ici l’´ equation exacte de la forme que prendra le parabolo¨ ıde de
r´ evolution quand on fait tourner le liquide `
a vitesse constante.
14.12 Exercices
Le probl` eme fondamental du calcul des variations
1. Un avion doit aller d’un point A ` a un point B situ´ es ` a l’altitude z´ ero et `
a une
distance d l’un de l’autre
5 . Dans ce probl` eme, on identifie la surface terrestre `
a un
plan. Plus un avion voyage `
a basse altitude, plus cela coˆ ute cher. On veut d´ eterminer
la trajectoire de l’avion qui minimise le coˆ ut du trajet entre A et B. Cette trajectoire
sera une courbe dans le plan vertical passant par A et par B. Le coˆ ut de parcours
de l’avion sur une distance ds ` a l’altitude h constante est donn´ e par e
(−h/H) ds.
a) Choisir un syst` eme d’axes bien adapt´ e au probl` eme.
b) Donner l’expression du coˆ ut du voyage de l’avion en fonction de sa trajectoire
dans le plan vertical passant par A et par B et exprimer le probl` eme de minimisation
du coˆ ut comme un probl` eme du calcul des variations.
c) En d´ eduire l’´ equation d’Euler–Lagrange ou de Beltrami associ´ ee.
La brachistochrone
2. Quelle est l’´ equation sp´ ecifique de la cyclo¨ ıde sur laquelle descendra un mobile en un
temps minimal du point (0, 0) jusqu’au point (1, 2) ? Quel temps mettra la particule
` a effectuer la descente ? Utiliser un logiciel pour effectuer les calculs.
3. Calculer l’aire sous une arche dont le profil est une cyclo¨ ıde. Y a-t-il un rapport
avec l’aire du cercle g´ en´ erateur ?
4. V´ erifier que le vecteur tangent de la cyclo¨ ıde (a(θ − sin θ), a(1 − cos θ)) en θ = 0 est
vertical.
5. Aller voir si les pistes de planche `
a roulettes et de tremplin acrobatique sont des
cyclo¨ ıdes.
6. a) Soient (x 1 , y 1 ) et (x 2 , y 2 ) tels que la brachistochrone partant de (x 1 , y 1 ) verticalement arrive horizontalement en (x 2 , y 2 ). Montrer que
y2−y1
x2−x1 =
2
π .
5 Ce probl` eme a ´ et´ e tir´ e d’un recueil de notes de cours de Francis Clarke.
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et de donner `
a f sa forme d´ efinitive,
f (r) =
ω
2 r
2
2g
−
ω
2 R
2
4g
+ h.
Nous avons donc ici l’´ equation exacte de la forme que prendra le parabolo¨ ıde de
r´ evolution quand on fait tourner le liquide `
a vitesse constante.
14.12 Exercices
Le probl` eme fondamental du calcul des variations
1. Un avion doit aller d’un point A ` a un point B situ´ es ` a l’altitude z´ ero et `
a une
distance d l’un de l’autre
5 . Dans ce probl` eme, on identifie la surface terrestre `
a un
plan. Plus un avion voyage `
a basse altitude, plus cela coˆ ute cher. On veut d´ eterminer
la trajectoire de l’avion qui minimise le coˆ ut du trajet entre A et B. Cette trajectoire
sera une courbe dans le plan vertical passant par A et par B. Le coˆ ut de parcours
de l’avion sur une distance ds ` a l’altitude h constante est donn´ e par e
(−h/H) ds.
a) Choisir un syst` eme d’axes bien adapt´ e au probl` eme.
b) Donner l’expression du coˆ ut du voyage de l’avion en fonction de sa trajectoire
dans le plan vertical passant par A et par B et exprimer le probl` eme de minimisation
du coˆ ut comme un probl` eme du calcul des variations.
c) En d´ eduire l’´ equation d’Euler–Lagrange ou de Beltrami associ´ ee.
La brachistochrone
2. Quelle est l’´ equation sp´ ecifique de la cyclo¨ ıde sur laquelle descendra un mobile en un
temps minimal du point (0, 0) jusqu’au point (1, 2) ? Quel temps mettra la particule
` a effectuer la descente ? Utiliser un logiciel pour effectuer les calculs.
3. Calculer l’aire sous une arche dont le profil est une cyclo¨ ıde. Y a-t-il un rapport
avec l’aire du cercle g´ en´ erateur ?
4. V´ erifier que le vecteur tangent de la cyclo¨ ıde (a(θ − sin θ), a(1 − cos θ)) en θ = 0 est
vertical.
5. Aller voir si les pistes de planche `
a roulettes et de tremplin acrobatique sont des
cyclo¨ ıdes.
6. a) Soient (x 1 , y 1 ) et (x 2 , y 2 ) tels que la brachistochrone partant de (x 1 , y 1 ) verticalement arrive horizontalement en (x 2 , y 2 ). Montrer que
y2−y1
x2−x1 =
2
π .
5 Ce probl` eme a ´ et´ e tir´ e d’un recueil de notes de cours de Francis Clarke.