504
14 Le calcul des variations
La minimisation de I est cependant soumise ` a une contrainte. Le volume Vol doit
effectivement satisfaire ` a Vol = πR
2 h. Lorsque la surface du liquide est une surface de
r´ evolution, ce volume s’exprime par
Vol =
2π
0
dθ ·
R
0
f (r)
0
dz
r dr = 2π
R
0
rf (r) dr.
(14.41)
Le th´ eor` eme 14.18 permet de r´ esoudre ce probl` eme d’extremum sous contrainte. Il faut
remplacer G par la fonction F (r, f, f
) = σω
2 f (r)r
3
− σg(f (r))
2 r − 2λrf (r). L’´ equation
d’Euler–Lagrange pour F est
∂F
∂f
−
d
dr
∂F
∂f
= 0.
Mais la fonction F ne d´ epend pas explicitement de f
, et dans ce cas particulier,
l’´ equation se r´ eduit tout simplement `
a :
∂F
∂f = 0, c’est-` a-dire
σω
2 r
3
− 2σgrf (r) − 2λr = 0.
La fonction f est donc
f (r) =
ω
2 r
2
2g
−
λ
σg
,
(14.42)
c’est-` a-dire une parabole. On peut d´ ej` a tirer quelques conclusions int´ eressantes de ceci.
Notons tout d’abord que la forme de la parabole d´ epend de la vitesse de la rotation
angulaire et de la gravit´ e, car le coefficient de r
2 est
ω
2
2g . Il est par contre ´ etonnant de
constater que la valeur de la densit´ e de masse σ n’a aucun impact sur la forme de la
parabole. Le terme
λ
σg repr´ esente une translation de la parabole vers le haut ou vers le
bas. Il est d´ etermin´ e par le volume du liquide, qui est constant.
Il nous reste maintenant ` a calculer la valeur de λ en utilisant la contrainte Vol =
πR
2 h. Les expressions du volume du liquide en rotation (14.41) et du profil f du liquide
(14.42) permettent d’obtenir
Vol = 2π
R
0
ω
2 r
2
2g
−
λ
σg
r dr
= 2π
ω
2 r
4
8g
−
λr
2
2σg
R
0
=
πω
2 R
4
4g
−
πλR
2
σg
.
Puisque le volume est constant (= πR
2 h), ceci permet de fixer la constante λ,
λ =
σω
2 R
2
4
− σgh,
14 Le calcul des variations
La minimisation de I est cependant soumise ` a une contrainte. Le volume Vol doit
effectivement satisfaire ` a Vol = πR
2 h. Lorsque la surface du liquide est une surface de
r´ evolution, ce volume s’exprime par
Vol =
2π
0
dθ ·
R
0
f (r)
0
dz
r dr = 2π
R
0
rf (r) dr.
(14.41)
Le th´ eor` eme 14.18 permet de r´ esoudre ce probl` eme d’extremum sous contrainte. Il faut
remplacer G par la fonction F (r, f, f
) = σω
2 f (r)r
3
− σg(f (r))
2 r − 2λrf (r). L’´ equation
d’Euler–Lagrange pour F est
∂F
∂f
−
d
dr
∂F
∂f
= 0.
Mais la fonction F ne d´ epend pas explicitement de f
, et dans ce cas particulier,
l’´ equation se r´ eduit tout simplement `
a :
∂F
∂f = 0, c’est-` a-dire
σω
2 r
3
− 2σgrf (r) − 2λr = 0.
La fonction f est donc
f (r) =
ω
2 r
2
2g
−
λ
σg
,
(14.42)
c’est-` a-dire une parabole. On peut d´ ej` a tirer quelques conclusions int´ eressantes de ceci.
Notons tout d’abord que la forme de la parabole d´ epend de la vitesse de la rotation
angulaire et de la gravit´ e, car le coefficient de r
2 est
ω
2
2g . Il est par contre ´ etonnant de
constater que la valeur de la densit´ e de masse σ n’a aucun impact sur la forme de la
parabole. Le terme
λ
σg repr´ esente une translation de la parabole vers le haut ou vers le
bas. Il est d´ etermin´ e par le volume du liquide, qui est constant.
Il nous reste maintenant ` a calculer la valeur de λ en utilisant la contrainte Vol =
πR
2 h. Les expressions du volume du liquide en rotation (14.41) et du profil f du liquide
(14.42) permettent d’obtenir
Vol = 2π
R
0
ω
2 r
2
2g
−
λ
σg
r dr
= 2π
ω
2 r
4
8g
−
λr
2
2σg
R
0
=
πω
2 R
4
4g
−
πλR
2
σg
.
Puisque le volume est constant (= πR
2 h), ceci permet de fixer la constante λ,
λ =
σω
2 R
2
4
− σgh,