14.11 Le miroir liquide
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surface de r´ evolution consiste ` a trouver la fonction f . Pour ce faire, nous appliquerons
le principe de Hamilton. Comme le syst` eme est en ´ equilibre, cela revient `
a trouver
l’extremum du lagrangien L = T − V (voir l’exemple 14.16).
Calcul de l’´ energie potentielle V Le liquide est divis´ e en ´ el´ ements de volume
infinit´ esimaux centr´ es en (r, θ, z) et d´ etermin´ es par dr, dθ et dz. Alors, le volume d’un
´ el´ ement de volume infinit´ esimal est dv ≈ r dr dθ dz. Supposons que la densit´ e de masse
volumique soit σ. Alors, la masse de chaque ´ el´ ement de volume infinit´ esimal est donn´ ee
par dm ≈ σr dr dθ dz. Puisque la hauteur de cet ´ el´ ement de volume infinit´ esimal est z,
son ´ energie potentielle est dV = σgr dr dθ z dz.
On additionne maintenant l’´ energie potentielle de chaque ´ el´ ement de volume infinit´ esimal pour trouver l’´ energie potentielle totale :
V =
dV = σg
2π
0
dθ
·
R
0
f (r)
0
z dz
r dr
= 2σgπ
R
0
z
2
2
f (r)
0
r dr
= σgπ
R
0
(f (r))
2 r dr.
Calcul de l’´ energie cin´ etique T C’est la somme de l’´ energie cin´ etique de chacun
des ´ el´ ements de volume pris s´ epar´ ement. Si u repr´ esente la vitesse d’un des ´ el´ ements
de volume, il poss` ede une ´ energie cin´ etique dT =
1
2 u
2 dm, o` u dm ≈ σr dr dθ dz est sa
masse. ´
Etant donn´ e que la vitesse angulaire ω est constante, la vitesse d’un ´ el´ ement `
a
distance r du centre est u = rω. L’´ energie cin´ etique totale est donc
T =
dT =
1
2
σω
2
2π
0
dθ
·
R
0
f (r)
0
dz
r
3 dr
= σπω
2
R
0
f (r)r
3 dr.
Application du principe de Hamilton Rappelons que le principe de Hamilton
vise `
a minimiser la valeur de l’int´ egrale
t2
t1
(T − V )dt. Or, nous sommes en position
d’´ equilibre. Donc, l’int´ egrale sera minimale si l’int´ egrant T − V lui-mˆ eme est minimum.
Nous avons
T − V = σπ
R
0
(f (r)ω
2 r
3
− g(f (r))
2 r) dr,
qui est de la forme
σπ
R
0
G(r, f, f
) dr
pour G(r, f, f
) = f (r)ω
2 r
3
− g(f (r))
2 r.
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surface de r´ evolution consiste ` a trouver la fonction f . Pour ce faire, nous appliquerons
le principe de Hamilton. Comme le syst` eme est en ´ equilibre, cela revient `
a trouver
l’extremum du lagrangien L = T − V (voir l’exemple 14.16).
Calcul de l’´ energie potentielle V Le liquide est divis´ e en ´ el´ ements de volume
infinit´ esimaux centr´ es en (r, θ, z) et d´ etermin´ es par dr, dθ et dz. Alors, le volume d’un
´ el´ ement de volume infinit´ esimal est dv ≈ r dr dθ dz. Supposons que la densit´ e de masse
volumique soit σ. Alors, la masse de chaque ´ el´ ement de volume infinit´ esimal est donn´ ee
par dm ≈ σr dr dθ dz. Puisque la hauteur de cet ´ el´ ement de volume infinit´ esimal est z,
son ´ energie potentielle est dV = σgr dr dθ z dz.
On additionne maintenant l’´ energie potentielle de chaque ´ el´ ement de volume infinit´ esimal pour trouver l’´ energie potentielle totale :
V =
dV = σg
2π
0
dθ
·
R
0
f (r)
0
z dz
r dr
= 2σgπ
R
0
z
2
2
f (r)
0
r dr
= σgπ
R
0
(f (r))
2 r dr.
Calcul de l’´ energie cin´ etique T C’est la somme de l’´ energie cin´ etique de chacun
des ´ el´ ements de volume pris s´ epar´ ement. Si u repr´ esente la vitesse d’un des ´ el´ ements
de volume, il poss` ede une ´ energie cin´ etique dT =
1
2 u
2 dm, o` u dm ≈ σr dr dθ dz est sa
masse. ´
Etant donn´ e que la vitesse angulaire ω est constante, la vitesse d’un ´ el´ ement `
a
distance r du centre est u = rω. L’´ energie cin´ etique totale est donc
T =
dT =
1
2
σω
2
2π
0
dθ
·
R
0
f (r)
0
dz
r
3 dr
= σπω
2
R
0
f (r)r
3 dr.
Application du principe de Hamilton Rappelons que le principe de Hamilton
vise `
a minimiser la valeur de l’int´ egrale
t2
t1
(T − V )dt. Or, nous sommes en position
d’´ equilibre. Donc, l’int´ egrale sera minimale si l’int´ egrant T − V lui-mˆ eme est minimum.
Nous avons
T − V = σπ
R
0
(f (r)ω
2 r
3
− g(f (r))
2 r) dr,
qui est de la forme
σπ
R
0
G(r, f, f
) dr
pour G(r, f, f
) = f (r)ω
2 r
3
− g(f (r))
2 r.