502
14 Le calcul des variations
Pr` es de Vancouver, au Canada, l’´ equipe de Hickson a construit un miroir de six
m` etres, le Large Zenith Telescope (LZT). Mˆ eme si on ne peut les orienter, ces t´ elescopes
sont utiles. En effet, lorsqu’on veut ´ etudier la densit´ e de galaxies lointaines, le z´ enith
est une direction aussi int´ eressante que les autres. Pendant ce temps-l` a, on peut utiliser
les autres t´ elescopes plus coˆ uteux pour d’autres tˆ aches.
Maintenant que les images des t´ elescopes ` a miroir liquide sont devenues tr` es satisfaisantes, les nouveaux projets de t´ elescopes ` a miroir liquide ne manquent pas. Parmi
ceux-ci, mentionnons ALPACA (Advanced Liquid-mirror Probe for Astrophysics, Cosmology and Asteroids), projet d’installation d’un t´ elescope ` a miroir liquide de huit
m` etres de diam` etre au sommet d’une montagne chilienne. L’exercice 5 du chapitre 15
d´ ecrit l’agencement des miroirs de ce futur t´ elescope : le miroir primaire est liquide, les
miroirs secondaire et tertiaire sont en verre. Et Roger Angel de l’Universit´ e de l’Arizona
dirige une ´ equipe internationale qui, avec le soutien de la NASA (National Aeronautics
and Space Administration), d´ eveloppe les plans d’un t´ elescope ` a miroir liquide qu’on
installerait sur la Lune ! En effet, les t´ elescopes ` a miroir liquide sont beaucoup plus faciles ` a transporter que les grands miroirs de verre, et un t´ elescope sur la Lune profiterait
de l’absence de l’atmosph` ere qui, sur la Terre, brouille les images. De plus, ` a cause de
la faible gravit´ e et de l’absence d’air, qui permet d’´ eliminer la turbulence `
a la surface
du miroir, on consid` ere un projet de miroir de 100 m` etres de diam` etre ! D´ ej` a, l’´ equipe
de Borra a fait des progr` es dans le remplacement du mercure, qui g` ele ` a −39
◦ C, par un
liquide ionique, qui ne s’´ evapore pas et reste liquide jusqu’` a −98
◦ C.
L’´ equipe de Borra cherche aussi des fa¸ cons de d´ eformer les miroirs liquides pour
observer dans d’autres directions qu’au z´ enith. Le mercure ´ etant tr` es lourd, on tente de le
remplacer par un liquide magn´ etique appel´ e ferrofluide, qui peut facilement ˆ etre d´ eform´ e
par un champ magn´ etique externe. Malheureusement, les ferrofluides ne r´ efl´ echissent pas
la lumi` ere. L’´ equipe de l’Universit´ e Laval a r´ esolu ce probl` eme ` a l’aide d’un film mince
fait de nanoparticules d’argent appel´ e MELLF (MEtal Liquid Like Film), qui poss` ede
une bonne r´ eflectivit´ e et ´ epouse la forme du ferrofluide sur lequel il repose. La recherche
se poursuit.
Grˆ ace au principe de Hamilton, il est possible de prouver que la surface du miroir
liquide est un parabolo¨ ıde de r´ evolution.
Proposition 14.21 On consid` ere un cylindre vertical de rayon R rempli de liquide
jusqu’` a une hauteur h. Si le liquide dans le cylindre tourne ` a une vitesse angulaire
constante ω autour de son axe, alors la surface du liquide est un parabolo¨ ıde de r´ evolution
dont l’axe est l’axe du cylindre. La forme du parabolo¨ ıde est ind´ ependante de la densit´ e
du liquide.
Preuve On utilise les coordonn´ ees cylindriques (r, θ, z) o` u
(x, y) = (r cos θ, r sin θ).
Le liquide est dans un cylindre de rayon R. On pr´ esume que la surface du liquide est
une surface de r´ evolution donn´ ee par z = f (r) = f (
x 2 + y 2 ). Identifier le profil de la
14 Le calcul des variations
Pr` es de Vancouver, au Canada, l’´ equipe de Hickson a construit un miroir de six
m` etres, le Large Zenith Telescope (LZT). Mˆ eme si on ne peut les orienter, ces t´ elescopes
sont utiles. En effet, lorsqu’on veut ´ etudier la densit´ e de galaxies lointaines, le z´ enith
est une direction aussi int´ eressante que les autres. Pendant ce temps-l` a, on peut utiliser
les autres t´ elescopes plus coˆ uteux pour d’autres tˆ aches.
Maintenant que les images des t´ elescopes ` a miroir liquide sont devenues tr` es satisfaisantes, les nouveaux projets de t´ elescopes ` a miroir liquide ne manquent pas. Parmi
ceux-ci, mentionnons ALPACA (Advanced Liquid-mirror Probe for Astrophysics, Cosmology and Asteroids), projet d’installation d’un t´ elescope ` a miroir liquide de huit
m` etres de diam` etre au sommet d’une montagne chilienne. L’exercice 5 du chapitre 15
d´ ecrit l’agencement des miroirs de ce futur t´ elescope : le miroir primaire est liquide, les
miroirs secondaire et tertiaire sont en verre. Et Roger Angel de l’Universit´ e de l’Arizona
dirige une ´ equipe internationale qui, avec le soutien de la NASA (National Aeronautics
and Space Administration), d´ eveloppe les plans d’un t´ elescope ` a miroir liquide qu’on
installerait sur la Lune ! En effet, les t´ elescopes ` a miroir liquide sont beaucoup plus faciles ` a transporter que les grands miroirs de verre, et un t´ elescope sur la Lune profiterait
de l’absence de l’atmosph` ere qui, sur la Terre, brouille les images. De plus, ` a cause de
la faible gravit´ e et de l’absence d’air, qui permet d’´ eliminer la turbulence `
a la surface
du miroir, on consid` ere un projet de miroir de 100 m` etres de diam` etre ! D´ ej` a, l’´ equipe
de Borra a fait des progr` es dans le remplacement du mercure, qui g` ele ` a −39
◦ C, par un
liquide ionique, qui ne s’´ evapore pas et reste liquide jusqu’` a −98
◦ C.
L’´ equipe de Borra cherche aussi des fa¸ cons de d´ eformer les miroirs liquides pour
observer dans d’autres directions qu’au z´ enith. Le mercure ´ etant tr` es lourd, on tente de le
remplacer par un liquide magn´ etique appel´ e ferrofluide, qui peut facilement ˆ etre d´ eform´ e
par un champ magn´ etique externe. Malheureusement, les ferrofluides ne r´ efl´ echissent pas
la lumi` ere. L’´ equipe de l’Universit´ e Laval a r´ esolu ce probl` eme ` a l’aide d’un film mince
fait de nanoparticules d’argent appel´ e MELLF (MEtal Liquid Like Film), qui poss` ede
une bonne r´ eflectivit´ e et ´ epouse la forme du ferrofluide sur lequel il repose. La recherche
se poursuit.
Grˆ ace au principe de Hamilton, il est possible de prouver que la surface du miroir
liquide est un parabolo¨ ıde de r´ evolution.
Proposition 14.21 On consid` ere un cylindre vertical de rayon R rempli de liquide
jusqu’` a une hauteur h. Si le liquide dans le cylindre tourne ` a une vitesse angulaire
constante ω autour de son axe, alors la surface du liquide est un parabolo¨ ıde de r´ evolution
dont l’axe est l’axe du cylindre. La forme du parabolo¨ ıde est ind´ ependante de la densit´ e
du liquide.
Preuve On utilise les coordonn´ ees cylindriques (r, θ, z) o` u
(x, y) = (r cos θ, r sin θ).
Le liquide est dans un cylindre de rayon R. On pr´ esume que la surface du liquide est
une surface de r´ evolution donn´ ee par z = f (r) = f (
x 2 + y 2 ). Identifier le profil de la