14.10 Deux probl` emes isop´ erim´ etriques
499
y
(x) = tan θ.
Soient σ la densit´ e de masse lin´ eaire, g la constante gravitationnelle et L(x) la longueur de notre section de courbe. Alors p x = −L(x)gσ. Regardons ce que deviennent les
´ equations (14.39) :
|T x | cos θ = −f 0 ,
|T x | sin θ = L(x)σg.
Divisons la deuxi` eme ´ equation par la premi` ere :
tan θ = y
= −
σg
f 0
L(x).
D´ erivons cette ´ equation. Nous obtenons
y
= −
σg
f 0
L
(x) = −
σg
f 0
1 + y 2
(14.40)
en utilisant L
(x) =
1 + y 2 . (Rappelez-vous la relation obtenue ` a l’exemple 14.1 ;
nous y avons d´ ecrit l’accroissement infinit´ esimal de la longueur d’une courbe par ds =
1 + y 2 dx. Donc, la d´ eriv´ ee de la longueur de cette courbe est L
=
ds
dx .)
Un exercice assez facile de calcul diff´ erentiel permet de v´ erifier que
y(x) = −
f 0
σg
cosh
σg
f 0
(x − x 0 )
+ y 0
satisfait ` a l’´ equation (14.40) ci-dessus. Pour avoir le maximum en x = 0, on prend
x 0 = 0. La courbe coupe alors l’axe des x en ±x 1 o` u x 1 d´ epend de y 0 . Le nombre y 0 est
d´ etermin´ e par le fait que la longueur de la courbe au-dessus de [−x 1 , x 1 ] est ´ egale `
a L.
Ce qui est remarquable, c’est que y(x) est aussi une solution de l’´ equation de Beltrami
(14.38) obtenue pour la chaˆ ınette si la constante C est ´ egale `
a f 0 et le multiplicateur de
Lagrange λ, ´ egal ` a σgy 0 . ( `
A nouveau, un exercice en calcul diff´ erentiel !) En d’autres
mots, la solution y(x) ci-dessus est aussi un point critique de la fonctionnelle ´ energie
potentielle (14.37) soumise `
a la contrainte d’une longueur fixe. Ou encore, la forme de
l’arc tenant sous son propre poids est un point critique de l’´ energie potentielle, sous la
contrainte que la longueur de l’arc est fix´ ee !
Nous sommes sˆ urs que cet extremum n’est pas un minimum. Est-ce que c’est un maximum sous la contrainte que la longueur de l’arc est fix´ ee ? Il est facile de se convaincre
que oui. Ici encore, on va se servir du parall` ele avec la chaˆ ınette. Dans ce cas, toute
autre solution, par exemple celle de la figure 14.16a, a une ´ energie potentielle plus grande
que la cat´ enaire. Par sym´ etrie, toute position de l’arc autre que la cat´ enaire invers´ ee,
par exemple celle de la figure 14.16b, a une ´ energie potentielle inf´ erieure.
L’exemple 14.20 montre que la forme de cat´ enaire invers´ ee minimise les contraintes
du mat´ eriau utilis´ e. Ce n’est pas surprenant que cette forme soit utilis´ ee en architecture.
Un exemple fameux est la Gateway Arch ` a Saint Louis dans le Missouri. Le profil des
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y
(x) = tan θ.
Soient σ la densit´ e de masse lin´ eaire, g la constante gravitationnelle et L(x) la longueur de notre section de courbe. Alors p x = −L(x)gσ. Regardons ce que deviennent les
´ equations (14.39) :
|T x | cos θ = −f 0 ,
|T x | sin θ = L(x)σg.
Divisons la deuxi` eme ´ equation par la premi` ere :
tan θ = y
= −
σg
f 0
L(x).
D´ erivons cette ´ equation. Nous obtenons
y
= −
σg
f 0
L
(x) = −
σg
f 0
1 + y 2
(14.40)
en utilisant L
(x) =
1 + y 2 . (Rappelez-vous la relation obtenue ` a l’exemple 14.1 ;
nous y avons d´ ecrit l’accroissement infinit´ esimal de la longueur d’une courbe par ds =
1 + y 2 dx. Donc, la d´ eriv´ ee de la longueur de cette courbe est L
=
ds
dx .)
Un exercice assez facile de calcul diff´ erentiel permet de v´ erifier que
y(x) = −
f 0
σg
cosh
σg
f 0
(x − x 0 )
+ y 0
satisfait ` a l’´ equation (14.40) ci-dessus. Pour avoir le maximum en x = 0, on prend
x 0 = 0. La courbe coupe alors l’axe des x en ±x 1 o` u x 1 d´ epend de y 0 . Le nombre y 0 est
d´ etermin´ e par le fait que la longueur de la courbe au-dessus de [−x 1 , x 1 ] est ´ egale `
a L.
Ce qui est remarquable, c’est que y(x) est aussi une solution de l’´ equation de Beltrami
(14.38) obtenue pour la chaˆ ınette si la constante C est ´ egale `
a f 0 et le multiplicateur de
Lagrange λ, ´ egal ` a σgy 0 . ( `
A nouveau, un exercice en calcul diff´ erentiel !) En d’autres
mots, la solution y(x) ci-dessus est aussi un point critique de la fonctionnelle ´ energie
potentielle (14.37) soumise `
a la contrainte d’une longueur fixe. Ou encore, la forme de
l’arc tenant sous son propre poids est un point critique de l’´ energie potentielle, sous la
contrainte que la longueur de l’arc est fix´ ee !
Nous sommes sˆ urs que cet extremum n’est pas un minimum. Est-ce que c’est un maximum sous la contrainte que la longueur de l’arc est fix´ ee ? Il est facile de se convaincre
que oui. Ici encore, on va se servir du parall` ele avec la chaˆ ınette. Dans ce cas, toute
autre solution, par exemple celle de la figure 14.16a, a une ´ energie potentielle plus grande
que la cat´ enaire. Par sym´ etrie, toute position de l’arc autre que la cat´ enaire invers´ ee,
par exemple celle de la figure 14.16b, a une ´ energie potentielle inf´ erieure.
L’exemple 14.20 montre que la forme de cat´ enaire invers´ ee minimise les contraintes
du mat´ eriau utilis´ e. Ce n’est pas surprenant que cette forme soit utilis´ ee en architecture.
Un exemple fameux est la Gateway Arch ` a Saint Louis dans le Missouri. Le profil des