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14 Le calcul des variations
Un tel arc apparaˆ ıt `
a la figure 14.15b. Nous ne traiterons pas ce cas directement par le
calcul des variations, mais nous verrons par une m´ ethode indirecte que cette forme est
un maximum de l’´ energie potentielle, sous la contrainte que la longueur de l’arc est fix´ ee.
Dans notre cas, au lieu de travailler comme dans l’exemple 14.19, nous allons
proc´ eder `
a l’envers. Nous allons mod´ eliser directement la position d’´ equilibre de l’arc
et remarquer que le profil y(x) de l’arc est la solution de l’´ equation d’Euler–Lagrange
associ´ ee ` a (14.37) sous la contrainte que la longueur de l’arc est fix´ ee.
Nous allons faire cette mod´ elisation parall` element ` a celle de la chaˆ ınette et voir que
les descriptions sont les mˆ emes, au sens des fl` eches pr` es. Regardons la figure 14.15.
(a) La chaˆ ınette
(b) L’arc
Fig. 14.15. Mod´ elisation de la chaˆ ınette et de l’arc tenant sous son propre poids
´
Etudions une section de la chaˆ ınette ou de l’arc au dessus d’un segment [0, x]. Comme
elle est en ´ equilibre, la somme des forces s’exer¸ cant sur cette section doit ˆ etre nulle.
Nous avons trois forces : le poids P x , la tension F 0 au point (0, y(0)) et la tension T x
au point (x, y(x)). Dans le cas de l’arc, on a les trois mˆ emes forces, mais F 0 et T x
sont invers´ ees. F 0 = (f 0 , 0) est constante mais P x et T x d´ ependent de x. Le poids est
vertical : P x = (0, p x ). Soit T x = (T x,h , T x,v ). Dire que la somme des forces est nulle
donne les deux ´ equations
T x,h = −f 0 ,
T x,v = −p x .
(14.39)
Soit θ l’angle entre la tangente ` a la courbe en B et l’horizontale. On a
T x,h = |T x | cos θ,
T x,v = |T x | sin θ,
et
la brique du centre. Ces forces dues ` a la d´ eformation (en g´ en´ eral minuscule) de la structure
mol´ eculaire du mat´ eriau sont appel´ ees contraintes. Elles peuvent donner lieu ` a une simple
compression, mais aussi ` a un cisaillement ou ` a une torsion. De nombreux mat´ eriaux dont la
pierre et le b´ eton r´ esistent fort bien `
a la compression, mais mal au cisaillement ou ` a la torsion.
Une arche minimisant les contraintes peut donc ˆ etre un avantage.
14 Le calcul des variations
Un tel arc apparaˆ ıt `
a la figure 14.15b. Nous ne traiterons pas ce cas directement par le
calcul des variations, mais nous verrons par une m´ ethode indirecte que cette forme est
un maximum de l’´ energie potentielle, sous la contrainte que la longueur de l’arc est fix´ ee.
Dans notre cas, au lieu de travailler comme dans l’exemple 14.19, nous allons
proc´ eder `
a l’envers. Nous allons mod´ eliser directement la position d’´ equilibre de l’arc
et remarquer que le profil y(x) de l’arc est la solution de l’´ equation d’Euler–Lagrange
associ´ ee ` a (14.37) sous la contrainte que la longueur de l’arc est fix´ ee.
Nous allons faire cette mod´ elisation parall` element ` a celle de la chaˆ ınette et voir que
les descriptions sont les mˆ emes, au sens des fl` eches pr` es. Regardons la figure 14.15.
(a) La chaˆ ınette
(b) L’arc
Fig. 14.15. Mod´ elisation de la chaˆ ınette et de l’arc tenant sous son propre poids
´
Etudions une section de la chaˆ ınette ou de l’arc au dessus d’un segment [0, x]. Comme
elle est en ´ equilibre, la somme des forces s’exer¸ cant sur cette section doit ˆ etre nulle.
Nous avons trois forces : le poids P x , la tension F 0 au point (0, y(0)) et la tension T x
au point (x, y(x)). Dans le cas de l’arc, on a les trois mˆ emes forces, mais F 0 et T x
sont invers´ ees. F 0 = (f 0 , 0) est constante mais P x et T x d´ ependent de x. Le poids est
vertical : P x = (0, p x ). Soit T x = (T x,h , T x,v ). Dire que la somme des forces est nulle
donne les deux ´ equations
T x,h = −f 0 ,
T x,v = −p x .
(14.39)
Soit θ l’angle entre la tangente ` a la courbe en B et l’horizontale. On a
T x,h = |T x | cos θ,
T x,v = |T x | sin θ,
et
la brique du centre. Ces forces dues ` a la d´ eformation (en g´ en´ eral minuscule) de la structure
mol´ eculaire du mat´ eriau sont appel´ ees contraintes. Elles peuvent donner lieu ` a une simple
compression, mais aussi ` a un cisaillement ou ` a une torsion. De nombreux mat´ eriaux dont la
pierre et le b´ eton r´ esistent fort bien `
a la compression, mais mal au cisaillement ou ` a la torsion.
Une arche minimisant les contraintes peut donc ˆ etre un avantage.