14.10 Deux probl` emes isop´ erim´ etriques
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ou, puisque la fonction cosh est paire (cosh x = cosh(−x)) :
σgy − λ
C
= cosh
σg
C
(x − a ± ).
Ainsi,
y =
C
σg
cosh
σg
C
(x − a ± ) +
λ
σg
.
Dans ce qui pr´ ec` ede, on doit avoir a + = a − = a pour que les deux courbes se recollent
en une unique courbe.
On voit donc que la chaˆ ınette suspendue prend la forme d’une cat´ enaire si elle est
uniforme et parfaitement flexible (comme dans l’exemple 14.11). Pour trouver les valeurs
de C, a et λ, il faut se souvenir qu’elles sont les solutions du syst` eme de trois ´ equations
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
J = L,
y(x 1 ) = y 1 ,
y(x 2 ) = y 2 .
Notons cependant qu’il peut ˆ etre tr` es difficile dans certains cas d’exprimer explicitement
les valeurs de C, a et λ en fonction de L, x 1 , y 1 , x 2 et y 2 . Il faut alors utiliser des
m´ ethodes num´ eriques.
Comme la cyclo¨ ıde, la cat´ enaire se retrouve souvent dans la nature. Elle a mˆ eme
donn´ e son nom au fil ´ electrique qui court au-dessus des voies ferr´ ees. On trouve aussi
des cat´ enaires invers´ ees : c’est la forme que prend un arc tenant sous son propre poids.
Et nous avons vu `
a la section 14.8 qu’un film de savon tendu entre deux cerceaux
circulaires prend la forme d’un cat´ eno¨ ıde (ou cosinus hyperbolique de r´ evolution).
Exemple 14.20 (arc tenant par son propre poids) L’utilisation de l’arche pour
supporter une structure architecturale a probablement commenc´ e en M´ esopotamie. C’est
une structure ´ eprouv´ ee dont il reste des exemples de toutes les ´ epoques de l’humanit´ e.
Plusieurs formes existent, mais une d’entre elles se distingue par ses propri´ et´ es structurales : l’arche cat´ enaire. Nous dirons qu’une arche tient sous son propre poids si les
forces dues `
a son poids se transmettent tangentiellement ` a la courbe dessin´ ee par l’arche
et assurent son ´ equilibre, et si les autres contraintes du mat´ eriau peuvent ˆ etre n´ eglig´ ees
4 .
4 Ceci n’est certainement pas le cas de toutes les arches. Imaginons un cas extrˆ eme de deux
murs verticaux distants de la largeur de trois briques exactement. On peut donc coincer trois
briques entre les deux murs verticaux de fa¸ con ` a ce que la premi` ere touche au mur de gauche, la
troisi` eme, au mur de droite, et que la seconde soit prise entre les deux autres. Si la pression sur
les deux briques extrˆ emes est suffisante, ces trois briques peuvent ˆ etre suspendues dans le vide
sans tomber. Ceci veut dire que celle du centre, soumise ` a la gravit´ e (une force verticale), est
maintenue en ´ equilibre par les forces qu’exercent sur elle ses deux voisines. Or, ces briques ne
subissent que des forces horizontales des deux murs et la gravit´ e. Il faut donc que la structure
interne des briques transforme les forces horizontales des deux murs en forces verticales sur
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ou, puisque la fonction cosh est paire (cosh x = cosh(−x)) :
σgy − λ
C
= cosh
σg
C
(x − a ± ).
Ainsi,
y =
C
σg
cosh
σg
C
(x − a ± ) +
λ
σg
.
Dans ce qui pr´ ec` ede, on doit avoir a + = a − = a pour que les deux courbes se recollent
en une unique courbe.
On voit donc que la chaˆ ınette suspendue prend la forme d’une cat´ enaire si elle est
uniforme et parfaitement flexible (comme dans l’exemple 14.11). Pour trouver les valeurs
de C, a et λ, il faut se souvenir qu’elles sont les solutions du syst` eme de trois ´ equations
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
J = L,
y(x 1 ) = y 1 ,
y(x 2 ) = y 2 .
Notons cependant qu’il peut ˆ etre tr` es difficile dans certains cas d’exprimer explicitement
les valeurs de C, a et λ en fonction de L, x 1 , y 1 , x 2 et y 2 . Il faut alors utiliser des
m´ ethodes num´ eriques.
Comme la cyclo¨ ıde, la cat´ enaire se retrouve souvent dans la nature. Elle a mˆ eme
donn´ e son nom au fil ´ electrique qui court au-dessus des voies ferr´ ees. On trouve aussi
des cat´ enaires invers´ ees : c’est la forme que prend un arc tenant sous son propre poids.
Et nous avons vu `
a la section 14.8 qu’un film de savon tendu entre deux cerceaux
circulaires prend la forme d’un cat´ eno¨ ıde (ou cosinus hyperbolique de r´ evolution).
Exemple 14.20 (arc tenant par son propre poids) L’utilisation de l’arche pour
supporter une structure architecturale a probablement commenc´ e en M´ esopotamie. C’est
une structure ´ eprouv´ ee dont il reste des exemples de toutes les ´ epoques de l’humanit´ e.
Plusieurs formes existent, mais une d’entre elles se distingue par ses propri´ et´ es structurales : l’arche cat´ enaire. Nous dirons qu’une arche tient sous son propre poids si les
forces dues `
a son poids se transmettent tangentiellement ` a la courbe dessin´ ee par l’arche
et assurent son ´ equilibre, et si les autres contraintes du mat´ eriau peuvent ˆ etre n´ eglig´ ees
4 .
4 Ceci n’est certainement pas le cas de toutes les arches. Imaginons un cas extrˆ eme de deux
murs verticaux distants de la largeur de trois briques exactement. On peut donc coincer trois
briques entre les deux murs verticaux de fa¸ con ` a ce que la premi` ere touche au mur de gauche, la
troisi` eme, au mur de droite, et que la seconde soit prise entre les deux autres. Si la pression sur
les deux briques extrˆ emes est suffisante, ces trois briques peuvent ˆ etre suspendues dans le vide
sans tomber. Ceci veut dire que celle du centre, soumise ` a la gravit´ e (une force verticale), est
maintenue en ´ equilibre par les forces qu’exercent sur elle ses deux voisines. Or, ces briques ne
subissent que des forces horizontales des deux murs et la gravit´ e. Il faut donc que la structure
interne des briques transforme les forces horizontales des deux murs en forces verticales sur