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14 Le calcul des variations
doit ˆ etre constante lors du calcul des variations. Nous sommes donc en pr´ esence d’un
probl` eme isop´ erim´ etrique.
Puisque ni f = y
1 + (y ) 2 ni g =
1 + (y ) 2 ne d´ ependent de x, nous pouvons
utiliser l’identit´ e de Beltrami du th´ eor` eme 14.18 et l’appliquer `
a la fonction
F = σgy
1 + (y ) 2 − λ
1 + (y ) 2 = (σgy − λ)
1 + (y ) 2 .
En rempla¸ cant cette fonction F dans l’identit´ e de Beltrami
y
∂F
∂y − F = C,
nous obtenons
(y
)
2 (σgy − λ)
1 + (y ) 2
− (σgy − λ)
1 + (y ) 2 = C
et, apr` es quelques simplifications,
−
σgy − λ
1 + (y ) 2
= C.
Il est possible d’isoler y
comme suit :
dy
dx
= ±
σgy − λ
C
2
− 1.
(14.38)
Cette ´ equation diff´ erentielle est `
a variables s´ eparables, comme celle de la brachistochrone, c’est-` a-dire que les d´ ependances en x et en y peuvent ˆ etre isol´ ees de part et
d’autre du signe d’´ egalit´ e :
dx = ±
dy
σgy−λ
C
2 − 1
.
Nous voyons ici que la m´ ethode nous permet de trouver x en fonction de y. Or, si on
regarde la forme de la chaˆ ınette, on voit que y est fonction de x, mais que, si on veut
repr´ esenter x en fonction de y, on a besoin de deux fonctions, une pour la branche de
gauche et une pour la branche de droite.
Comme pr´ ec´ edemment, la recherche des primitives permet d’int´ egrer l’´ equation
diff´ erentielle :
x = ±
C
σg
arccosh
σgy − λ
C
+ a ± ,
o` u a ± est une constante d’int´ egration. Donc,
x − a ± = ±
C
σg
arccosh
σgy − λ
C