14.10 Deux probl` emes isop´ erim´ etriques
495
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
y
∂(f − λg)
∂y
− (f − λg) = K,
J =
x2
x1
g(x, y, y
) dx = C.
(14.36)
Exemple 14.19 (la chaˆ ınette) Supposons que l’on ait une chaˆ ınette suspendue entre
deux points : par exemple, un cˆ able de haute tension tendu entre deux pylˆ ones (figure 14.14). On sait que, si la longueur de la chaˆ ınette est plus grande que la distance
qui s´ epare les deux points d’attache, la chaˆ ınette d´ ecrira une courbe. L’´ equation d’Euler–
Lagrange sous contrainte nous permet de d´ ecouvrir que cette courbe est une cat´ enaire et
de donner son ´ equation exacte. La fonctionnelle `
a minimiser est ici l’´ energie potentielle
de la chaˆ ınette ; on peut donc voir ce probl` eme comme une application du principe de
Hamilton au cas o` u le syst` eme est en ´ equilibre, l’´ energie cin´ etique est nulle, et l’´ energie
potentielle constante (voir l’exemple 14.16).
Fig. 14.14. Quelle est l’´ equation de la courbe d´ ecrite par la chaˆ ınette ?
Supposons que la chaˆ ınette soit de densit´ e de masse lin´ eaire σ et que L soit sa
longueur. Puisque l’´ energie potentielle d’une masse m ` a une hauteur y est mgy, l’´ energie
potentielle d’un ´ el´ ement de longueur ds de la chaˆ ınette est σgy ds. L’´ energie potentielle
totale est donn´ ee par
I = σg
L
0
y ds
ou encore,
I = σg
x2
x1
y
1 + (y ) 2 dx.
(14.37)
La contrainte est ici la longueur L de la chaˆ ınette. Donc, l’int´ egrale
J =
x2
x1
1 + (y ) 2 dx = L
495
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
y
∂(f − λg)
∂y
− (f − λg) = K,
J =
x2
x1
g(x, y, y
) dx = C.
(14.36)
Exemple 14.19 (la chaˆ ınette) Supposons que l’on ait une chaˆ ınette suspendue entre
deux points : par exemple, un cˆ able de haute tension tendu entre deux pylˆ ones (figure 14.14). On sait que, si la longueur de la chaˆ ınette est plus grande que la distance
qui s´ epare les deux points d’attache, la chaˆ ınette d´ ecrira une courbe. L’´ equation d’Euler–
Lagrange sous contrainte nous permet de d´ ecouvrir que cette courbe est une cat´ enaire et
de donner son ´ equation exacte. La fonctionnelle `
a minimiser est ici l’´ energie potentielle
de la chaˆ ınette ; on peut donc voir ce probl` eme comme une application du principe de
Hamilton au cas o` u le syst` eme est en ´ equilibre, l’´ energie cin´ etique est nulle, et l’´ energie
potentielle constante (voir l’exemple 14.16).
Fig. 14.14. Quelle est l’´ equation de la courbe d´ ecrite par la chaˆ ınette ?
Supposons que la chaˆ ınette soit de densit´ e de masse lin´ eaire σ et que L soit sa
longueur. Puisque l’´ energie potentielle d’une masse m ` a une hauteur y est mgy, l’´ energie
potentielle d’un ´ el´ ement de longueur ds de la chaˆ ınette est σgy ds. L’´ energie potentielle
totale est donn´ ee par
I = σg
L
0
y ds
ou encore,
I = σg
x2
x1
y
1 + (y ) 2 dx.
(14.37)
La contrainte est ici la longueur L de la chaˆ ınette. Donc, l’int´ egrale
J =
x2
x1
1 + (y ) 2 dx = L