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14 Le calcul des variations
Fig. 14.13. Explication des multiplicateurs de Lagrange
Les extrema sont obtenus en des points o` u les gradients ∇F et ∇G sont parall` eles
(∇F ∇G et donc, ∇F = λ∇G pour un certain nombre r´ eel λ). `
A la figure 14.13,
la fonction F (x, y) a ´ et´ e repr´ esent´ ee ` a l’aide de ses courbes de niveau trac´ ees en traits
gris. La contrainte G(x, y) = C est la courbe ferm´ ee trac´ ee en noir. Deux extrema se
trouvent le long de la courbe de la contrainte ; en ces points, les gradients de F et de G
sont effectivement parall` eles. Ainsi, pour les fonctions de variables r´ eelles, le probl` eme
d’optimisation sous contrainte consiste `
a solutionner le syst` eme
∇F = λ∇G,
G(x, y) = C.
La m´ ethode se g´ en´ eralise au cadre du calcul des variations ` a l’aide du th´ eor` eme suivant,
que nous ´ enoncerons sans preuve.
Th´ eor` eme 14.18 Une fonction y(x) qui est un extremum de I =
x2
x1
f (x, y, y
) dx
sous la contrainte J =
x2
x1 g(x, y, y
) dx = C est une solution de l’´ equation diff´ erentielle
d’Euler–Lagrange pour la fonctionnelle
M =
x2
x1
(f − λg)(x, y, y
)dx.
On doit donc r´ esoudre le syst` eme
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
d
dx
∂(f − λg)
∂y
=
∂(f − λg)
∂y
,
J =
x2
x1
g(x, y, y
) dx = C.
(14.35)
Si f et g sont ind´ ependantes de x, on peut plutˆ ot utiliser l’identit´ e de Beltrami et
r´ esoudre le syst` eme