14.10 Deux probl` emes isop´ erim´ etriques
493
Exemple 14.15 (le mouvement d’un ressort) Cet exemple facile que vous connaissez bien est trait´ e `
a l’exercice 14.
Exemple 14.16 (cas particulier des syst` emes en ´ equilibre) Les syst` emes en
´ equilibre offrent une simplification suppl´ ementaire. La configuration d’un syst` eme en
´ equilibre est la mˆ eme `
a tout instant, donc le lagrangien est constant dans le temps.
Si l’on veut que l’int´ egrale d’action
t2
t1 L dt atteigne un extremum, le lagrangien doit
lui-mˆ eme avoir un extremum puisqu’il est constant. Nous en verrons plusieurs exemples
dans la section 14.10 : chaˆ ınette, arc tenant sous son propre poids, miroir liquide.
La reformulation des lois physiques que permet le principe de Hamilton ne se limite
pas ` a la m´ ecanique classique. En fait, le principes de moindre action jouent un rˆ ole
fondamental en m´ ecanique quantique, en ´ electromagn´ etisme, en th´ eorie des champs
classique et quantique et en relativit´ e g´ en´ erale.
14.10 Deux probl` emes isop´ erim´ etriques
Les probl` emes isop´ erim´ etriques forment une partie importante du calcul des variations. Ils repr´ esentent des probl` emes dont l’optimisation est soumise `
a au moins une
contrainte.
Le terme « probl` eme isop´ erim´ etrique » n’est peut-ˆ etre pas ´ evocateur de l’optimisation
avec contraintes. On a choisi ce nom pour rappeler le premier probl` eme de ce type,
formul´ e dans l’Antiquit´ e. Ce probl` eme consiste ` a trouver, pour un p´ erim` etre donn´ e, la
figure g´ eom´ etrique qui circonscrit la plus grande aire. La r´ eponse est le cercle ayant
le p´ erim` etre prescrit. On verra ci-dessous comment le calcul des variations permet de
donner une r´ eponse ` a ce probl` eme (et ` a bien d’autres encore).
Voici une variante de ce probl` eme.
Exemple 14.17 On veut maximiser
I =
x2
x1
y dx
sous la contrainte
J =
x2
x1
1 + (y ) 2 dx = L
o` u L est une constante qui repr´ esente la longueur de la courbe. Le p´ erim` etre est donc
L + (x 2 − x 1 ). La premi` ere int´ egrale, elle, est l’aire sous la courbe y(x) entre x 1 et x 2 .
Rappel sur les multiplicateurs de Lagrange Pour les fonctions de variables r´ eelles,
le probl` eme d’optimisation sous contrainte est r´ esolu par la m´ ethode classique des multiplicateurs de Lagrange. Rappelons-en les grandes lignes. Nous voulons trouver les
extrema d’une fonction F = F (x, y) de deux variables sous une contrainte G(x, y) = C.
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Exemple 14.15 (le mouvement d’un ressort) Cet exemple facile que vous connaissez bien est trait´ e `
a l’exercice 14.
Exemple 14.16 (cas particulier des syst` emes en ´ equilibre) Les syst` emes en
´ equilibre offrent une simplification suppl´ ementaire. La configuration d’un syst` eme en
´ equilibre est la mˆ eme `
a tout instant, donc le lagrangien est constant dans le temps.
Si l’on veut que l’int´ egrale d’action
t2
t1 L dt atteigne un extremum, le lagrangien doit
lui-mˆ eme avoir un extremum puisqu’il est constant. Nous en verrons plusieurs exemples
dans la section 14.10 : chaˆ ınette, arc tenant sous son propre poids, miroir liquide.
La reformulation des lois physiques que permet le principe de Hamilton ne se limite
pas ` a la m´ ecanique classique. En fait, le principes de moindre action jouent un rˆ ole
fondamental en m´ ecanique quantique, en ´ electromagn´ etisme, en th´ eorie des champs
classique et quantique et en relativit´ e g´ en´ erale.
14.10 Deux probl` emes isop´ erim´ etriques
Les probl` emes isop´ erim´ etriques forment une partie importante du calcul des variations. Ils repr´ esentent des probl` emes dont l’optimisation est soumise `
a au moins une
contrainte.
Le terme « probl` eme isop´ erim´ etrique » n’est peut-ˆ etre pas ´ evocateur de l’optimisation
avec contraintes. On a choisi ce nom pour rappeler le premier probl` eme de ce type,
formul´ e dans l’Antiquit´ e. Ce probl` eme consiste ` a trouver, pour un p´ erim` etre donn´ e, la
figure g´ eom´ etrique qui circonscrit la plus grande aire. La r´ eponse est le cercle ayant
le p´ erim` etre prescrit. On verra ci-dessous comment le calcul des variations permet de
donner une r´ eponse ` a ce probl` eme (et ` a bien d’autres encore).
Voici une variante de ce probl` eme.
Exemple 14.17 On veut maximiser
I =
x2
x1
y dx
sous la contrainte
J =
x2
x1
1 + (y ) 2 dx = L
o` u L est une constante qui repr´ esente la longueur de la courbe. Le p´ erim` etre est donc
L + (x 2 − x 1 ). La premi` ere int´ egrale, elle, est l’aire sous la courbe y(x) entre x 1 et x 2 .
Rappel sur les multiplicateurs de Lagrange Pour les fonctions de variables r´ eelles,
le probl` eme d’optimisation sous contrainte est r´ esolu par la m´ ethode classique des multiplicateurs de Lagrange. Rappelons-en les grandes lignes. Nous voulons trouver les
extrema d’une fonction F = F (x, y) de deux variables sous une contrainte G(x, y) = C.