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14 Le calcul des variations
x
= v 0x = |v 0 | cos θ.
On retrouve une observation physique bien connue : un objet lanc´ e ` a partir du sol et qui
ne subit aucune friction a une vitesse horizontale constante. Une seconde int´ egration
donne la coordonn´ ee x au cours du temps : x = v 0x t+a. La constante d’int´ egration a peut
ˆ etre fix´ ee ` a l’aide des donn´ ees initiales. En t 1 = 0, le projectile ´ etait en (x, y) = (0, h).
Il faut donc que a = 0, et alors
x = v 0x t = |v 0 |t cos θ.
L’´ equation d’Euler–Lagrange pour le second degr´ e de libert´ e donne
0 =
∂f
∂y
−
d
dt
∂f
∂y
= −g −
d
dt
y
= −g − y
ou encore
y
= −g.
(14.33)
Dans la direction verticale, la particule subit une acc´ el´ eration due `
a la force gravitationnelle dirig´ ee vers le bas. Une premi` ere int´ egration donne
y
= −gt + b,
o` u la constante d’int´ egration b est la composante verticale de v 0 , c’est-` a-dire v 0y . En
effet, en t 1 = 0, y
= |v 0 | sin θ. La vitesse de la particule s’exprime donc comme suit :
y
= −gt + |v 0 | sin θ.
Enfin, une derni` ere int´ egration par rapport ` a t donne
y =
−gt
2
2
+ |v 0 |t sin θ + c.
La constante c doit ˆ etre la position verticale initiale y(0) = h. La trajectoire de la
particule est donc
x = v 0x t = |v 0 |t cos θ
et
y =
−gt
2
2
+ |v 0 |t sin θ + h.
(14.34)
Comme nous allons le montrer `
a l’instant, cette trajectoire est une parabole si θ = ±
π
2 .
En effet, si cos θ = 0, alors t = x/(|v 0 | cos θ), et la coordonn´ ee y peut ˆ etre ´ ecrite en
fonction de x
y =
−gx
2
2|v 0 |
2 cos 2 θ
+ x tan θ + h,
qui est la parabole annonc´ ee. Le cas cos θ = 0 correspond `
a un lancer vertical, vers le
haut ou vers le bas. Dans ces deux cas, la trajectoire est une droite.
Notons pour terminer cet exemple que les ´ equations du mouvement (14.32) et (14.33)
sont les ´ equations que les lois de Newton nous auraient permis d’obtenir. Ici elles apparaissent comme des cons´ equences du principe de Hamilton ou encore, du principe de
moindre action.
14 Le calcul des variations
x
= v 0x = |v 0 | cos θ.
On retrouve une observation physique bien connue : un objet lanc´ e ` a partir du sol et qui
ne subit aucune friction a une vitesse horizontale constante. Une seconde int´ egration
donne la coordonn´ ee x au cours du temps : x = v 0x t+a. La constante d’int´ egration a peut
ˆ etre fix´ ee ` a l’aide des donn´ ees initiales. En t 1 = 0, le projectile ´ etait en (x, y) = (0, h).
Il faut donc que a = 0, et alors
x = v 0x t = |v 0 |t cos θ.
L’´ equation d’Euler–Lagrange pour le second degr´ e de libert´ e donne
0 =
∂f
∂y
−
d
dt
∂f
∂y
= −g −
d
dt
y
= −g − y
ou encore
y
= −g.
(14.33)
Dans la direction verticale, la particule subit une acc´ el´ eration due `
a la force gravitationnelle dirig´ ee vers le bas. Une premi` ere int´ egration donne
y
= −gt + b,
o` u la constante d’int´ egration b est la composante verticale de v 0 , c’est-` a-dire v 0y . En
effet, en t 1 = 0, y
= |v 0 | sin θ. La vitesse de la particule s’exprime donc comme suit :
y
= −gt + |v 0 | sin θ.
Enfin, une derni` ere int´ egration par rapport ` a t donne
y =
−gt
2
2
+ |v 0 |t sin θ + c.
La constante c doit ˆ etre la position verticale initiale y(0) = h. La trajectoire de la
particule est donc
x = v 0x t = |v 0 |t cos θ
et
y =
−gt
2
2
+ |v 0 |t sin θ + h.
(14.34)
Comme nous allons le montrer `
a l’instant, cette trajectoire est une parabole si θ = ±
π
2 .
En effet, si cos θ = 0, alors t = x/(|v 0 | cos θ), et la coordonn´ ee y peut ˆ etre ´ ecrite en
fonction de x
y =
−gx
2
2|v 0 |
2 cos 2 θ
+ x tan θ + h,
qui est la parabole annonc´ ee. Le cas cos θ = 0 correspond `
a un lancer vertical, vers le
haut ou vers le bas. Dans ces deux cas, la trajectoire est une droite.
Notons pour terminer cet exemple que les ´ equations du mouvement (14.32) et (14.33)
sont les ´ equations que les lois de Newton nous auraient permis d’obtenir. Ici elles apparaissent comme des cons´ equences du principe de Hamilton ou encore, du principe de
moindre action.