14.9 Le principe de Hamilton
491
Th´ eor` eme 14.13 Soit l’int´ egrale
I(x, y) =
t2
t1
f (t, x, y, x
, y
) dt.
(14.31)
Pour que la paire (x
∗ , y
∗ ) minimise cette int´ egrale, il faut que (x
∗ , y
∗ ) soit une solution
du syst` eme de deux ´ equations d’Euler–Lagrange
∂f
∂x
−
d
dt
∂f
∂x
= 0,
∂f
∂y
−
d
dt
∂f
∂y
= 0.
Dans les calculs pr´ ec´ edents, le comportement de la solution ´ etait fix´ e par des conditions sur la fonction y donn´ ees aux bornes d’int´ egration. Par exemple, les constantes
d’int´ egration qui d´ ecrivent la cyclo¨ ıde sont fix´ ees par les points de d´ epart (x 1 , y 1 ) et
d’arriv´ ee (x 2 , y 2 ). En physique, plutˆ ot que de d´ eterminer la trajectoire d’une particule
en utilisant ses points de d´ epart et d’arriv´ ee, on a coutume de donner sa position et sa
vitesse au d´ epart. Nous verrons comment cela est fait dans un exemple.
Exemple 14.14 (la trajectoire d’un projectile) Comme exemple du principe de
Hamilton, nous trouverons la trajectoire d’un projectile de masse m dans le champ
gravitationnel ` a la surface de la Terre. Nous supposerons que la friction de l’air est
n´ egligeable. Le projectile est lanc´ e ` a l’instant t 1 = 0, `
a la hauteur h (c’est-` a-dire
(x(0), y(0)) = (0, h)) et ` a la vitesse v 0 faisant un angle θ avec l’axe horizontal. Les
composantes de la vitesse sont donc (v 0x , v 0y ) = |v 0 |(cos θ, sin θ).
L’action d’un tel projectile (voir (14.30)) est
A =
t2
t1
L(t, x, y, x
, y
)dt =
t2
t1
(T − V )dt.
Le
indique une d´ eriv´ ee par rapport au temps t. L’´ energie cin´ etique est T =
1
2 m|v|
2 et
l’´ energie potentielle, V = mgy. Puisque le carr´ e de la longueur du vecteur vitesse est
|v|
2 = (x
)
2 + (y
)
2 , l’action peut ˆ etre ´ ecrite en termes des variables x, y, x
et y
sous
la forme
A =
t2
t1
m
1
2 (x
)
2 +
1
2 (y
)
2
− gy
dt.
Les ´ equations du mouvement du projectile sont obtenues ` a l’aide des ´ equations
d’Euler–Lagrange du th´ eor` eme 14.13 o` u le lagrangien L = m
1
2 (x
)
2 +
1
2 (y
)
2
− gy
est la fonction dont l’int´ egrale est `
a minimiser. On utilise de fa¸ con ´ equivalente f =
L
m .
La premi` ere ´ equation, pour le degr´ e de libert´ e x = x(t), donne
0 =
∂f
∂x
−
d
dt
∂f
∂x
= −
d
dt
(x
) = −x
.
(14.32)
La seconde ´ egalit´ e d´ ecoule du fait que L ne d´ epend pas de x. La seconde d´ eriv´ ee de x
´ etant nulle, sa premi` ere d´ eriv´ ee, x
, doit ˆ etre une constante. Or, nous connaissons cette
constante : c’est la composante horizontale de la vitesse initiale v 0x . Donc,
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Th´ eor` eme 14.13 Soit l’int´ egrale
I(x, y) =
t2
t1
f (t, x, y, x
, y
) dt.
(14.31)
Pour que la paire (x
∗ , y
∗ ) minimise cette int´ egrale, il faut que (x
∗ , y
∗ ) soit une solution
du syst` eme de deux ´ equations d’Euler–Lagrange
∂f
∂x
−
d
dt
∂f
∂x
= 0,
∂f
∂y
−
d
dt
∂f
∂y
= 0.
Dans les calculs pr´ ec´ edents, le comportement de la solution ´ etait fix´ e par des conditions sur la fonction y donn´ ees aux bornes d’int´ egration. Par exemple, les constantes
d’int´ egration qui d´ ecrivent la cyclo¨ ıde sont fix´ ees par les points de d´ epart (x 1 , y 1 ) et
d’arriv´ ee (x 2 , y 2 ). En physique, plutˆ ot que de d´ eterminer la trajectoire d’une particule
en utilisant ses points de d´ epart et d’arriv´ ee, on a coutume de donner sa position et sa
vitesse au d´ epart. Nous verrons comment cela est fait dans un exemple.
Exemple 14.14 (la trajectoire d’un projectile) Comme exemple du principe de
Hamilton, nous trouverons la trajectoire d’un projectile de masse m dans le champ
gravitationnel ` a la surface de la Terre. Nous supposerons que la friction de l’air est
n´ egligeable. Le projectile est lanc´ e ` a l’instant t 1 = 0, `
a la hauteur h (c’est-` a-dire
(x(0), y(0)) = (0, h)) et ` a la vitesse v 0 faisant un angle θ avec l’axe horizontal. Les
composantes de la vitesse sont donc (v 0x , v 0y ) = |v 0 |(cos θ, sin θ).
L’action d’un tel projectile (voir (14.30)) est
A =
t2
t1
L(t, x, y, x
, y
)dt =
t2
t1
(T − V )dt.
Le
indique une d´ eriv´ ee par rapport au temps t. L’´ energie cin´ etique est T =
1
2 m|v|
2 et
l’´ energie potentielle, V = mgy. Puisque le carr´ e de la longueur du vecteur vitesse est
|v|
2 = (x
)
2 + (y
)
2 , l’action peut ˆ etre ´ ecrite en termes des variables x, y, x
et y
sous
la forme
A =
t2
t1
m
1
2 (x
)
2 +
1
2 (y
)
2
− gy
dt.
Les ´ equations du mouvement du projectile sont obtenues ` a l’aide des ´ equations
d’Euler–Lagrange du th´ eor` eme 14.13 o` u le lagrangien L = m
1
2 (x
)
2 +
1
2 (y
)
2
− gy
est la fonction dont l’int´ egrale est `
a minimiser. On utilise de fa¸ con ´ equivalente f =
L
m .
La premi` ere ´ equation, pour le degr´ e de libert´ e x = x(t), donne
0 =
∂f
∂x
−
d
dt
∂f
∂x
= −
d
dt
(x
) = −x
.
(14.32)
La seconde ´ egalit´ e d´ ecoule du fait que L ne d´ epend pas de x. La seconde d´ eriv´ ee de x
´ etant nulle, sa premi` ere d´ eriv´ ee, x
, doit ˆ etre une constante. Or, nous connaissons cette
constante : c’est la composante horizontale de la vitesse initiale v 0x . Donc,