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14 Le calcul des variations
14.9 Le principe de Hamilton
Le principe de Hamilton est un des plus grands succ` es du calcul des variations. Il
permet de reformuler la m´ ecanique classique et plusieurs autres domaines de la physique
comme des probl` emes variationnels.
Selon le principe de Hamilton, un syst` eme en mouvement dans l’espace suit toujours
la trajectoire qui optimise l’int´ egrale suivante,
A =
t2
t1
L dt =
t2
t1
(T − V ) dt,
(14.30)
o` u la fonction L, appel´ ee le lagrangien, est la diff´ erence entre l’´ energie cin´ etique T du
syst` eme et son ´ energie potentielle V . Pour des raisons historiques, l’int´ egrale A est
appel´ ee l’action. Ainsi, le principe de Hamilton est aussi appel´ e le principe de moindre
action
3 . Puisque, dans beaucoup de probl` emes de m´ ecanique, l’´ energie cin´ etique d´ epend
de la vitesse des composantes du syst` eme (dans le cas d’une particule, elle est de la forme
1
2 mv
2 , o` u v est la vitesse de la particule et m, sa masse) et que l’´ energie potentielle ne
d´ epend que de la position, le lagrangien L est en fait une fonction L = L(t, y, y
) o` u
y = y(t) est la position du syst` eme au cours du temps et y
=
dy
dt , sa vitesse. On
reconnaˆ ıt donc la forme
A =
t2
t1
L(t, y, y
) dt
` a laquelle s’applique le calcul des variations ; la variable x a ´ et´ e remplac´ ee par le temps
t.
Le vecteur y d´ ecrit la position du syst` eme. Le nombre de ses coordonn´ ees d´ epend
du syst` eme consid´ er´ e. Si on d´ ecrit le mouvement d’un point mat´ eriel dans le plan (respectivement dans l’espace), y ∈ R
2 (respectivement y ∈ R
3 ). Si le syst` eme comprend
deux points mat´ eriels, y = (y 1 , y 2 ), et donc, y ∈ R
4 (respectivement y ∈ R
6 ), o` u y 1
(respectivement y 2 ) repr´ esente la position du premier (respectivement deuxi` eme) point.
Dans le cas g´ en´ eral, y ∈ R
n , et on dit que le syst` eme a n degr´ es de libert´ e. (Voir l’introduction du chapitre 3 pour une discussion des degr´ es de libert´ e dans un autre contexte.)
Si y = (y 1 , . . . , y n ) ∈ R
n , le lagrangien prend la forme L = L(t, y 1 , . . . , y n , y
1 , . . . , y
n ).
Les ´ equations d’Euler–Lagrange peuvent ˆ etre g´ en´ eralis´ ees aux probl` emes comportant un
nombre quelconque de degr´ es de libert´ e. Voici la g´ en´ eralisation ` a deux degr´ es de libert´ e.
3 Il est difficile de comprendre pourquoi les syst` emes physiques minimisent l’int´ egrale de
la diff´ erence entre leurs ´ energies cin´ etique et potentielle. Pourquoi cette diff´ erence plutˆ ot que
toute autre combinaison ? Les livres de physique sont fort laconiques sur ce point. Dans ses
cours d’introduction `
a la physique, Feynman consacre tout un chapitre au principe de moindre
action. Son ´ emerveillement se porte, non sur le fait que ce soit la diff´ erence T − V qui d´ ecrive la
nature, mais bien sur l’existence mˆ eme d’une telle quantit´ e dont le minimum d´ ecrit la physique
observ´ ee. Pour ceux qui veulent explorer plus profond´ ement le lien entre calcul des variations
et physique, ce cours de Feynman est un magnifique point de d´ epart. [5]
14 Le calcul des variations
14.9 Le principe de Hamilton
Le principe de Hamilton est un des plus grands succ` es du calcul des variations. Il
permet de reformuler la m´ ecanique classique et plusieurs autres domaines de la physique
comme des probl` emes variationnels.
Selon le principe de Hamilton, un syst` eme en mouvement dans l’espace suit toujours
la trajectoire qui optimise l’int´ egrale suivante,
A =
t2
t1
L dt =
t2
t1
(T − V ) dt,
(14.30)
o` u la fonction L, appel´ ee le lagrangien, est la diff´ erence entre l’´ energie cin´ etique T du
syst` eme et son ´ energie potentielle V . Pour des raisons historiques, l’int´ egrale A est
appel´ ee l’action. Ainsi, le principe de Hamilton est aussi appel´ e le principe de moindre
action
3 . Puisque, dans beaucoup de probl` emes de m´ ecanique, l’´ energie cin´ etique d´ epend
de la vitesse des composantes du syst` eme (dans le cas d’une particule, elle est de la forme
1
2 mv
2 , o` u v est la vitesse de la particule et m, sa masse) et que l’´ energie potentielle ne
d´ epend que de la position, le lagrangien L est en fait une fonction L = L(t, y, y
) o` u
y = y(t) est la position du syst` eme au cours du temps et y
=
dy
dt , sa vitesse. On
reconnaˆ ıt donc la forme
A =
t2
t1
L(t, y, y
) dt
` a laquelle s’applique le calcul des variations ; la variable x a ´ et´ e remplac´ ee par le temps
t.
Le vecteur y d´ ecrit la position du syst` eme. Le nombre de ses coordonn´ ees d´ epend
du syst` eme consid´ er´ e. Si on d´ ecrit le mouvement d’un point mat´ eriel dans le plan (respectivement dans l’espace), y ∈ R
2 (respectivement y ∈ R
3 ). Si le syst` eme comprend
deux points mat´ eriels, y = (y 1 , y 2 ), et donc, y ∈ R
4 (respectivement y ∈ R
6 ), o` u y 1
(respectivement y 2 ) repr´ esente la position du premier (respectivement deuxi` eme) point.
Dans le cas g´ en´ eral, y ∈ R
n , et on dit que le syst` eme a n degr´ es de libert´ e. (Voir l’introduction du chapitre 3 pour une discussion des degr´ es de libert´ e dans un autre contexte.)
Si y = (y 1 , . . . , y n ) ∈ R
n , le lagrangien prend la forme L = L(t, y 1 , . . . , y n , y
1 , . . . , y
n ).
Les ´ equations d’Euler–Lagrange peuvent ˆ etre g´ en´ eralis´ ees aux probl` emes comportant un
nombre quelconque de degr´ es de libert´ e. Voici la g´ en´ eralisation ` a deux degr´ es de libert´ e.
3 Il est difficile de comprendre pourquoi les syst` emes physiques minimisent l’int´ egrale de
la diff´ erence entre leurs ´ energies cin´ etique et potentielle. Pourquoi cette diff´ erence plutˆ ot que
toute autre combinaison ? Les livres de physique sont fort laconiques sur ce point. Dans ses
cours d’introduction `
a la physique, Feynman consacre tout un chapitre au principe de moindre
action. Son ´ emerveillement se porte, non sur le fait que ce soit la diff´ erence T − V qui d´ ecrive la
nature, mais bien sur l’existence mˆ eme d’une telle quantit´ e dont le minimum d´ ecrit la physique
observ´ ee. Pour ceux qui veulent explorer plus profond´ ement le lien entre calcul des variations
et physique, ce cours de Feynman est un magnifique point de d´ epart. [5]