14.8 Pellicules de savon
489
On appelle point de Fermat le point interm´ ediaire qui minimise la longueur totale de la route entre les trois points. On peut trouver la position du point de Fermat
simplement en dessinant un triangle ´ equilat´ eral sur chaque cˆ ot´ e du triangle form´ e par
les trois points. On joint ensuite chaque sommet du triangle ABC au sommet du triangle ´ equilat´ eral qui lui est oppos´ e. Les trois droites AA
, BB
et CC
s’intersectent en
un point P (figure 14.12). Il ne se trouve `
a l’int´ erieur du triangle que si les angles du
triangle sont tous inf´ erieurs ou ´ egaux `
a
2π
3 .
Fig. 14.12. Construction d’un point de Fermat
On montrera dans l’exercice 18 que le chemin construit est bien le plus court.
Ceci se g´ en´ eralise ais´ ement `
a plus de trois points. L` a aussi, on pourrait trouver la
route la plus courte qui les joint en construisant un mod` ele qu’on plongerait dans une
solution de savon. Le probl` eme g´ en´ eralis´ e est en fait un ancien probl` eme d’optimisation
appel´ e probl` eme de l’arbre minimal de Steiner.
Probl` eme de l’arbre minimal de Steiner Ce probl` eme s’´ enonce comme suit : ´ etant
donn´ e n points dans un plan, trouver le r´ eseau le plus court permettant de les relier.
Il est facile de se convaincre qu’un tel r´ eseau est une union de segments de droite. En
effet, si on avait des arcs de courbe, on pourrait les remplacer par des lignes polygonales
de longueur inf´ erieure. De plus, on peut se convaincre que l’ensemble des segments ne
contient pas de triangle, car on a vu ci-dessus comment remplacer un triangle par un
r´ eseau plus court reliant les trois sommets du triangle. Selon le mˆ eme type d’argument,
la r´ eunion des segments ne contient pas de polygones ferm´ es. Cette r´ eunion de segments
est donc un arbre au sens de la th´ eorie des graphes, d’o` u le nom du probl` eme.
Les surfaces minimales apparaissent dans beaucoup d’autres applications. Vous en
rencontrerez peut-ˆ etre quelques-unes.
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On appelle point de Fermat le point interm´ ediaire qui minimise la longueur totale de la route entre les trois points. On peut trouver la position du point de Fermat
simplement en dessinant un triangle ´ equilat´ eral sur chaque cˆ ot´ e du triangle form´ e par
les trois points. On joint ensuite chaque sommet du triangle ABC au sommet du triangle ´ equilat´ eral qui lui est oppos´ e. Les trois droites AA
, BB
et CC
s’intersectent en
un point P (figure 14.12). Il ne se trouve `
a l’int´ erieur du triangle que si les angles du
triangle sont tous inf´ erieurs ou ´ egaux `
a
2π
3 .
Fig. 14.12. Construction d’un point de Fermat
On montrera dans l’exercice 18 que le chemin construit est bien le plus court.
Ceci se g´ en´ eralise ais´ ement `
a plus de trois points. L` a aussi, on pourrait trouver la
route la plus courte qui les joint en construisant un mod` ele qu’on plongerait dans une
solution de savon. Le probl` eme g´ en´ eralis´ e est en fait un ancien probl` eme d’optimisation
appel´ e probl` eme de l’arbre minimal de Steiner.
Probl` eme de l’arbre minimal de Steiner Ce probl` eme s’´ enonce comme suit : ´ etant
donn´ e n points dans un plan, trouver le r´ eseau le plus court permettant de les relier.
Il est facile de se convaincre qu’un tel r´ eseau est une union de segments de droite. En
effet, si on avait des arcs de courbe, on pourrait les remplacer par des lignes polygonales
de longueur inf´ erieure. De plus, on peut se convaincre que l’ensemble des segments ne
contient pas de triangle, car on a vu ci-dessus comment remplacer un triangle par un
r´ eseau plus court reliant les trois sommets du triangle. Selon le mˆ eme type d’argument,
la r´ eunion des segments ne contient pas de polygones ferm´ es. Cette r´ eunion de segments
est donc un arbre au sens de la th´ eorie des graphes, d’o` u le nom du probl` eme.
Les surfaces minimales apparaissent dans beaucoup d’autres applications. Vous en
rencontrerez peut-ˆ etre quelques-unes.