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14 Le calcul des variations
Il est rare, en math´ ematiques, qu’un jeu suffise pour d´ ecouvrir ou v´ erifier, au moins
approximativement, une solution analytique. Un peu d’eau savonneuse permet cependant de v´ erifier la solution que nous venons d’obtenir et de trouver les solutions pour
d’autres cadres C. L’exp´ erimentation permet aussi d’explorer certaines limitations du
calcul des variations, limitations dont nous avons d´ ej` a dit quelques mots `
a la section
14.2 (voir l’anectode sur la colonne la plus stable). Nous vous sugg´ erons donc de trouver une « bonne » recette d’eau savonneuse sur Internet et d’exp´ erimenter avec divers
cadres. Le cadre constitu´ e des arˆ etes d’un cube donne un r´ esultat saisissant ; nous vous
le recommandons !
Les pellicules de savon nous donnent un moyen facile et int´ eressant de r´ epondre `
a
d’autres questions. En voici une.
Exemple 14.12 (les trois villes et les pellicules de savon) Supposons que nous
ayons trois villes dispos´ ees sur un terrain parfaitement plat. On cherche `
a relier ces
trois villes par la route la plus courte. Comment proc´ eder ?
On commence par identifier les villes `
a trois points A, B, C. Tout ce qu’on a `
a faire,
c’est construire un mod` ele form´ e de deux plaques parall` eles d’un mat´ eriau transparent,
reli´ ees par trois chevilles perpendiculaires plac´ ees aux points de coordonn´ ees A, B et
C, et tremper cet ensemble dans une solution de savon. Quand on sort le mod` ele de la
solution, un film relie les trois chevilles. Ce film ´ etant une surface minimale, il nous
donne exactement la forme que devrait prendre la route reliant directement les trois
points.
Fig. 14.11. En pointill´ e : le plus court r´ eseau routier reliant les trois villes situ´ ees aux sommets
A, B et C du triangle
Il est un peu surprenant de constater que la forme de la pellicule de savon n’est pas
toujours la ligne bris´ ee qui relie les trois points. En effet, si les angles du triangle ABC
sont tous inf´ erieurs `
a
2π
3 , on obtient une « route » plus courte si on passe d’abord par
un point interm´ ediaire situ´ e entre les trois autres. Au contraire, si un des angles est
sup´ erieur ou ´ egal ` a
2π
3 , alors la r´ eunion de ses deux cˆ ot´ es adjacents est le chemin le
plus court (figure 14.11).
14 Le calcul des variations
Il est rare, en math´ ematiques, qu’un jeu suffise pour d´ ecouvrir ou v´ erifier, au moins
approximativement, une solution analytique. Un peu d’eau savonneuse permet cependant de v´ erifier la solution que nous venons d’obtenir et de trouver les solutions pour
d’autres cadres C. L’exp´ erimentation permet aussi d’explorer certaines limitations du
calcul des variations, limitations dont nous avons d´ ej` a dit quelques mots `
a la section
14.2 (voir l’anectode sur la colonne la plus stable). Nous vous sugg´ erons donc de trouver une « bonne » recette d’eau savonneuse sur Internet et d’exp´ erimenter avec divers
cadres. Le cadre constitu´ e des arˆ etes d’un cube donne un r´ esultat saisissant ; nous vous
le recommandons !
Les pellicules de savon nous donnent un moyen facile et int´ eressant de r´ epondre `
a
d’autres questions. En voici une.
Exemple 14.12 (les trois villes et les pellicules de savon) Supposons que nous
ayons trois villes dispos´ ees sur un terrain parfaitement plat. On cherche `
a relier ces
trois villes par la route la plus courte. Comment proc´ eder ?
On commence par identifier les villes `
a trois points A, B, C. Tout ce qu’on a `
a faire,
c’est construire un mod` ele form´ e de deux plaques parall` eles d’un mat´ eriau transparent,
reli´ ees par trois chevilles perpendiculaires plac´ ees aux points de coordonn´ ees A, B et
C, et tremper cet ensemble dans une solution de savon. Quand on sort le mod` ele de la
solution, un film relie les trois chevilles. Ce film ´ etant une surface minimale, il nous
donne exactement la forme que devrait prendre la route reliant directement les trois
points.
Fig. 14.11. En pointill´ e : le plus court r´ eseau routier reliant les trois villes situ´ ees aux sommets
A, B et C du triangle
Il est un peu surprenant de constater que la forme de la pellicule de savon n’est pas
toujours la ligne bris´ ee qui relie les trois points. En effet, si les angles du triangle ABC
sont tous inf´ erieurs `
a
2π
3 , on obtient une « route » plus courte si on passe d’abord par
un point interm´ ediaire situ´ e entre les trois autres. Au contraire, si un des angles est
sup´ erieur ou ´ egal ` a
2π
3 , alors la r´ eunion de ses deux cˆ ot´ es adjacents est le chemin le
plus court (figure 14.11).