14.8 Pellicules de savon
487
df
f 2 − C 2
= ±
1
C
dx.
En int´ egrant des deux cˆ ot´ es, on obtient
arccosh(f /C) = ±
x
C
+ K ± .
On a deux constantes d’int´ egration parce que la solution z = f (x) est donn´ ee sous la
forme de la r´ eunion de deux graphes de fonctions x = g ± (z). En appliquant cosh aux
deux membres, on obtient
f = C cosh
x
C
± K ±
.
Nous avons utilis´ e ici la fonction cosinus hyperbolique (d´ efinie en termes de l’exponentielle par cosh x =
1
2 (e
x + e
−x )) et son inverse, la fonction arccosh. Comme on veut que
les deux fonctions se recollent, on prend K + = −K − = K. V´ erifier que la d´ eriv´ ee de
arccosh x est 1/
√
x 2 − 1 est un bon exercice ; c’est ce que nous avons utilis´ e ci-dessus.
Puisque f (−a) = f (a) = R,
K = 0,
C cosh(
a
C ) = R.
La deuxi` eme ´ equation permet de d´ eterminer C, mais seulement implicitement.
La courbe y = C cosh
x
C + K
est appel´ ee cat´ enaire, et la surface de r´ evolution
qu’elle engendre est appel´ ee cat´ eno¨ ıde. Nous reverrons la cat´ enaire ci-dessous.
Fig. 14.10. Deux points de vue de la pellicule ´ elastique joignant deux cerceaux de rayons
´ egaux