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14 Le calcul des variations
soient loin d’ˆ etre ´ elastiques et souples, ces toits semblent parfois ˆ etre des pellicules
tendues sur un cadre de forme exotique.
Le calcul des variations permet de r´ esoudre la question de la forme des pellicules
´ elastiques si on la reformule en tenant compte du fait que la pellicule ´ elastique d´ ecrit
une surface dont l’aire est minimale. (Pour vous en convaincre, rappelez-vous que la
tension d’une bande ou d’une surface ´ elastique est d’autant moins forte qu’elle est moins
´ etir´ ee. Minimiser la longueur d’une bande ou l’aire d’une surface consiste ` a minimiser
les tensions qui s’y trouvent.) Ainsi, r´ esoudre la question originale revient ` a minimiser
l’int´ egrale
I =
D
1 +
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y
2
dx dy
(14.28)
qui repr´ esente l’aire de la partie du graphe d’une fonction f = f (x, y) situ´ ee au-dessus
d’un domaine D dont le pourtour est une courbe ferm´ ee C (le cadre). Dans cette formulation, cette question est un probl` eme de g´ eom´ etrie classique nomm´ e le probl` eme des
surfaces minimales.
Trouver la fonction f minimisant l’int´ egrale (14.28) requiert de d´ eriver une ´ equation
d’Euler–Lagrange pour une fonctionnelle donn´ ee par une int´ egrale double. Cela n’est
pas difficile, et nous laissons cela pour l’exercice 16. Nous allons nous limiter ici au cas
d’une surface de r´ evolution qui nous ram` ene ` a un probl` eme ` a une dimension que nous
savons r´ esoudre.
Exemple 14.11 Prenons un cadre bien particulier, constitu´ e de deux cercles parall` eles
y
2 + z
2 = R
2 situ´ es dans les plans x = −a et x = a. Prenons une courbe z = f (x) telle
que f (−a) = R et f (a) = R. Consid´ erons la surface de r´ evolution obtenue en faisant
tourner la courbe autour de l’axe des x. Ceci engendre une surface de r´ evolution dont
le bord est constitu´ e des deux cercles parall` eles. Nous v´ erifierons dans l’exercice 15 que
l’aire est donn´ ee par la formule
I = 2π
a
−a
f
1 + f 2 dx.
(14.29)
Pour minimiser cette int´ egrale, nous devons r´ esoudre l’identit´ e de Beltrami associ´ ee,
soit
f
2 f
1 + f 2
− f
1 + f 2 = C,
que l’on peut r´ e´ ecrire
f
1 + f 2
= C.
On aura donc
f
= ±
1
C
f 2 − C 2 .
Pour int´ egrer cette ´ equation diff´ erentielle, on pose
14 Le calcul des variations
soient loin d’ˆ etre ´ elastiques et souples, ces toits semblent parfois ˆ etre des pellicules
tendues sur un cadre de forme exotique.
Le calcul des variations permet de r´ esoudre la question de la forme des pellicules
´ elastiques si on la reformule en tenant compte du fait que la pellicule ´ elastique d´ ecrit
une surface dont l’aire est minimale. (Pour vous en convaincre, rappelez-vous que la
tension d’une bande ou d’une surface ´ elastique est d’autant moins forte qu’elle est moins
´ etir´ ee. Minimiser la longueur d’une bande ou l’aire d’une surface consiste ` a minimiser
les tensions qui s’y trouvent.) Ainsi, r´ esoudre la question originale revient ` a minimiser
l’int´ egrale
I =
D
1 +
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y
2
dx dy
(14.28)
qui repr´ esente l’aire de la partie du graphe d’une fonction f = f (x, y) situ´ ee au-dessus
d’un domaine D dont le pourtour est une courbe ferm´ ee C (le cadre). Dans cette formulation, cette question est un probl` eme de g´ eom´ etrie classique nomm´ e le probl` eme des
surfaces minimales.
Trouver la fonction f minimisant l’int´ egrale (14.28) requiert de d´ eriver une ´ equation
d’Euler–Lagrange pour une fonctionnelle donn´ ee par une int´ egrale double. Cela n’est
pas difficile, et nous laissons cela pour l’exercice 16. Nous allons nous limiter ici au cas
d’une surface de r´ evolution qui nous ram` ene ` a un probl` eme ` a une dimension que nous
savons r´ esoudre.
Exemple 14.11 Prenons un cadre bien particulier, constitu´ e de deux cercles parall` eles
y
2 + z
2 = R
2 situ´ es dans les plans x = −a et x = a. Prenons une courbe z = f (x) telle
que f (−a) = R et f (a) = R. Consid´ erons la surface de r´ evolution obtenue en faisant
tourner la courbe autour de l’axe des x. Ceci engendre une surface de r´ evolution dont
le bord est constitu´ e des deux cercles parall` eles. Nous v´ erifierons dans l’exercice 15 que
l’aire est donn´ ee par la formule
I = 2π
a
−a
f
1 + f 2 dx.
(14.29)
Pour minimiser cette int´ egrale, nous devons r´ esoudre l’identit´ e de Beltrami associ´ ee,
soit
f
2 f
1 + f 2
− f
1 + f 2 = C,
que l’on peut r´ e´ ecrire
f
1 + f 2
= C.
On aura donc
f
= ±
1
C
f 2 − C 2 .
Pour int´ egrer cette ´ equation diff´ erentielle, on pose