14.8 Pellicules de savon
485
l(θ) =
θ
0
a
√
2
√
2 sin
θ
2
dθ =
−4a cos
θ
2
θ
0
= −4a cos
θ
2
+ 4a.
Nous avons maintenant tout ce qu’il faut pour obtenir la trajectoire X(θ). Simplifions
d’abord l’expression du vecteur allant du point P θ ` a l’extr´ emit´ e X(θ) :
− −−−− →
P θ X(θ) = (L − l(θ))T (θ)
= 4a cos
θ
2
√
1 − cos θ
√
2
,
sin θ
√
2
√
1 − cos θ
= 4a
√
1 − cos θ
√
1 + cos θ
2
,
(cos
θ
2 )(2 sin
θ
2 cos
θ
2 )
√
2
√
2 sin
θ
2
= 2a(
1 − cos 2 θ, 2 cos
2 θ
2
)
= 2a(sin θ, 1 + cos θ).
En ajoutant les coordonn´ ees de P θ , nous obtenons
X(θ) = (aθ − a sin θ + 2a sin θ, a − a cos θ + 2a + 2a cos θ)
= (a(θ + sin θ), a(1 + cos θ) + 2a)
= (a(φ − sin φ) − aπ, a(1 − cos φ) + 2a),
o` u φ = θ + π. Nous avons utilis´ e les identit´ es sin θ = − sin(θ + π) et cos θ = − cos(θ + π).
Cette courbe est donc une cyclo¨ ıde translat´ ee de (−πa, 2a). Ainsi, par ce dispositif,
l’extr´ emit´ e X(θ) du pendule se d´ eplace sur une cyclo¨ ıde.
14.8 Pellicules de savon
Quelle forme prend une pellicule ´ elastique si elle est tendue sur un cadre ? Cette
question poss` ede une r´ eponse ´ evidente si le cadre a la forme d’un cercle. Tout le monde
sait que la peau (la pellicule « ´ elastique ») tendue sur le pourtour d’un tambour (le cadre)
repose dans le plan de ce cadre. Nous n’avons gu` ere besoin du calcul des variations pour
r´ epondre `
a cette question. Mais qu’advient-il si le cadre n’appartient pas ` a un plan ?
La r´ eponse est beaucoup moins ´ evidente ! Pourtant, un enfant a tous les outils pour y
r´ epondre. Muni de cintres m´ etalliques qu’il peut d´ eformer ` a sa guise et d’eau savonneuse,
il peut obtenir une r´ eponse explicite en plongeant les cintres dans la solution. Lorsqu’il
les en retirera, la pellicule savonneuse donnera une solution exp´ erimentale ` a la question
que nous venons de poser.
L’architecture de la derni` ere moiti´ e de si` ecle a pu prendre de grandes libert´ es et
s’´ eloigner des murs horizontaux et toits plans. Plusieurs grands projets comportent des
surfaces qui sont non planaires, particuli` erement pour les toits. Quoique les mat´ eriaux
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l(θ) =
θ
0
a
√
2
√
2 sin
θ
2
dθ =
−4a cos
θ
2
θ
0
= −4a cos
θ
2
+ 4a.
Nous avons maintenant tout ce qu’il faut pour obtenir la trajectoire X(θ). Simplifions
d’abord l’expression du vecteur allant du point P θ ` a l’extr´ emit´ e X(θ) :
− −−−− →
P θ X(θ) = (L − l(θ))T (θ)
= 4a cos
θ
2
√
1 − cos θ
√
2
,
sin θ
√
2
√
1 − cos θ
= 4a
√
1 − cos θ
√
1 + cos θ
2
,
(cos
θ
2 )(2 sin
θ
2 cos
θ
2 )
√
2
√
2 sin
θ
2
= 2a(
1 − cos 2 θ, 2 cos
2 θ
2
)
= 2a(sin θ, 1 + cos θ).
En ajoutant les coordonn´ ees de P θ , nous obtenons
X(θ) = (aθ − a sin θ + 2a sin θ, a − a cos θ + 2a + 2a cos θ)
= (a(θ + sin θ), a(1 + cos θ) + 2a)
= (a(φ − sin φ) − aπ, a(1 − cos φ) + 2a),
o` u φ = θ + π. Nous avons utilis´ e les identit´ es sin θ = − sin(θ + π) et cos θ = − cos(θ + π).
Cette courbe est donc une cyclo¨ ıde translat´ ee de (−πa, 2a). Ainsi, par ce dispositif,
l’extr´ emit´ e X(θ) du pendule se d´ eplace sur une cyclo¨ ıde.
14.8 Pellicules de savon
Quelle forme prend une pellicule ´ elastique si elle est tendue sur un cadre ? Cette
question poss` ede une r´ eponse ´ evidente si le cadre a la forme d’un cercle. Tout le monde
sait que la peau (la pellicule « ´ elastique ») tendue sur le pourtour d’un tambour (le cadre)
repose dans le plan de ce cadre. Nous n’avons gu` ere besoin du calcul des variations pour
r´ epondre `
a cette question. Mais qu’advient-il si le cadre n’appartient pas ` a un plan ?
La r´ eponse est beaucoup moins ´ evidente ! Pourtant, un enfant a tous les outils pour y
r´ epondre. Muni de cintres m´ etalliques qu’il peut d´ eformer ` a sa guise et d’eau savonneuse,
il peut obtenir une r´ eponse explicite en plongeant les cintres dans la solution. Lorsqu’il
les en retirera, la pellicule savonneuse donnera une solution exp´ erimentale ` a la question
que nous venons de poser.
L’architecture de la derni` ere moiti´ e de si` ecle a pu prendre de grandes libert´ es et
s’´ eloigner des murs horizontaux et toits plans. Plusieurs grands projets comportent des
surfaces qui sont non planaires, particuli` erement pour les toits. Quoique les mat´ eriaux