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14 Le calcul des variations
Huygens a assembl´ e deux palettes en forme de cyclo¨ ıdes de param` etre a et il a
suspendu un pendule de longueur L = 4a entre les deux (figure 14.9). Lorsque le pendule
est en mouvement, sa corde vient se coller sur la palette sur une distance l(θ), entre la
position (0, 0) et la position P θ . Ensuite, la partie libre de la corde d´ ecrit un segment
tangent `
a la cyclo¨ ıde en P θ .
Proposition 14.10 En l’absence de friction, le pendule de Huygens de la figure 14.9 a
des oscillations isochrones.
Preuve La position de la boule au bout du pendule peut ˆ etre d´ ecrite par
P θ + (L − l(θ))T (θ) = X(θ),
(14.26)
o` u P θ est le point o` u la corde se d´ etache de la palette, T (θ) est le vecteur unitaire tangent
en P θ , et (L − l(θ)) est la longueur de corde restante. Quant `
a X(θ), il repr´ esente la
position de la boule au bout du pendule pour la valeur θ du param` etre. (Attention,
le param` etre θ est celui de la cyclo¨ ıde, il n’est pas l’angle que fait le pendule avec la
verticale.)
Commen¸ cons par exprimer P θ sous la forme d’un vecteur. Ceci est facile, car ses
composantes sont les coordonn´ ees de la cyclo¨ ıde :
P θ = (a(θ − sin θ), a(1 − cos θ)) .
Pour trouver la direction du vecteur tangent `
a une position θ, il suffit de d´ eriver par
rapport `
a θ ces mˆ emes composantes :
V (θ) = (a(1 − cos θ), a sin θ) .
Pour obtenir le vecteur tangent unitaire, il faut trouver la longueur de ce vecteur :
|V (θ)| =
a 2 (1 − cos θ) 2 + a 2 sin
2 θ =
√
2a
√
1 − cos θ.
Ainsi, le vecteur unitaire est donn´ e par
T (θ) =
V (t)
|V (t)|
=
√
1 − cos θ
√
2
,
sin θ
√
2
√
1 − cos θ
.
Nous avons fix´ e la longueur de la corde `
a L = 4a. Il ne reste donc qu’` a calculer la valeur
de l(θ), qui est la longueur de l’arc de cyclo¨ ıde entre (0, 0) et P θ (voir la figure 14.9).
Nous y r´ eussirons en calculant l’int´ egrale suivante :
l(θ) =
θ
0
(x ) 2 + (y ) 2 dθ =
θ
0
a
√
2
√
1 − cos θ dθ.
(14.27)
Il est facile de simplifier ceci si on se rappelle que
√
1 − cos θ =
√
2 sin
θ
2 . Alors,
14 Le calcul des variations
Huygens a assembl´ e deux palettes en forme de cyclo¨ ıdes de param` etre a et il a
suspendu un pendule de longueur L = 4a entre les deux (figure 14.9). Lorsque le pendule
est en mouvement, sa corde vient se coller sur la palette sur une distance l(θ), entre la
position (0, 0) et la position P θ . Ensuite, la partie libre de la corde d´ ecrit un segment
tangent `
a la cyclo¨ ıde en P θ .
Proposition 14.10 En l’absence de friction, le pendule de Huygens de la figure 14.9 a
des oscillations isochrones.
Preuve La position de la boule au bout du pendule peut ˆ etre d´ ecrite par
P θ + (L − l(θ))T (θ) = X(θ),
(14.26)
o` u P θ est le point o` u la corde se d´ etache de la palette, T (θ) est le vecteur unitaire tangent
en P θ , et (L − l(θ)) est la longueur de corde restante. Quant `
a X(θ), il repr´ esente la
position de la boule au bout du pendule pour la valeur θ du param` etre. (Attention,
le param` etre θ est celui de la cyclo¨ ıde, il n’est pas l’angle que fait le pendule avec la
verticale.)
Commen¸ cons par exprimer P θ sous la forme d’un vecteur. Ceci est facile, car ses
composantes sont les coordonn´ ees de la cyclo¨ ıde :
P θ = (a(θ − sin θ), a(1 − cos θ)) .
Pour trouver la direction du vecteur tangent `
a une position θ, il suffit de d´ eriver par
rapport `
a θ ces mˆ emes composantes :
V (θ) = (a(1 − cos θ), a sin θ) .
Pour obtenir le vecteur tangent unitaire, il faut trouver la longueur de ce vecteur :
|V (θ)| =
a 2 (1 − cos θ) 2 + a 2 sin
2 θ =
√
2a
√
1 − cos θ.
Ainsi, le vecteur unitaire est donn´ e par
T (θ) =
V (t)
|V (t)|
=
√
1 − cos θ
√
2
,
sin θ
√
2
√
1 − cos θ
.
Nous avons fix´ e la longueur de la corde `
a L = 4a. Il ne reste donc qu’` a calculer la valeur
de l(θ), qui est la longueur de l’arc de cyclo¨ ıde entre (0, 0) et P θ (voir la figure 14.9).
Nous y r´ eussirons en calculant l’int´ egrale suivante :
l(θ) =
θ
0
(x ) 2 + (y ) 2 dθ =
θ
0
a
√
2
√
1 − cos θ dθ.
(14.27)
Il est facile de simplifier ceci si on se rappelle que
√
1 − cos θ =
√
2 sin
θ
2 . Alors,