14.7 Un dispositif isochrone
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14.7 Un dispositif isochrone
`
A l’´ epoque o` u elle a ´ et´ e d´ ecouverte, la propri´ et´ e tautochrone de la section pr´ ec´ edente
a soulev´ e beaucoup d’espoir par ses applications potentielles en horlogerie. Si on peut
forcer une particule ` a parcourir une trajectoire de cyclo¨ ıde sous l’effet de la gravit´ e
et ´ eliminer tous les frottements, ses oscillations auront la mˆ eme p´ eriode (4π
a
g ), peu
importe l’amplitude du mouvement. Ce n’est pas le cas du pendule classique qui trace
une trajectoire en arc de cercle. Dans ce type de pendule, la p´ eriode augmente en fonction
de l’angle de d´ eplacement. En pratique, on peut n´ egliger cette variation si l’angle est
petit, mais l’horloge ne sera jamais parfaitement pr´ ecise
2 .
Ayant d´ ecouvert que la courbe tautochrone est la cyclo¨ ıde et non l’arc de cercle,
Huygens a eu l’id´ ee de construire une horloge o` u il contraindrait le pendule `
a parcourir
une trajectoire cyclo¨ ıdale. `
A l’´ epoque, une am´ elioration de la pr´ ecision des horloges avait
un impact important en astronomie et en navigation. En fait, la pr´ ecision des horloges
´ etait pratiquement une question de vie ou de mort pour les marins. Pour d´ eterminer
leur longitude, les marins avaient besoin de connaˆ ıtre avec pr´ ecision le moment de la
journ´ ee. Or, les montres impr´ ecises de l’´ epoque accumulaient, lors de longs voyages,
des erreurs inacceptables, car elles pouvaient laisser croire aux marins munis de cartes
maritimes que leur navire ´ etait au-dessus de fonds sˆ urs alors qu’il ´ etait pr` es de r´ ecifs.
Nous d´ ecrirons maintenant un dispositif imagin´ e par Huygens pour faire parcourir
une courbe cyclo¨ ıde `
a la masse d’un pendule. Le probl` eme de ce dispositif est que les
frottements y sont beaucoup plus importants que pour le pendule classique.
Fig. 14.9. Le dispositif de Huygens et deux positions du pendule
2 Il est possible que vous ayez ´ etudi´ e le pendule dans un cours de physique. L’´ equation
du mouvement,
d
2
dt 2 θ = −
g
l
sin θ, peut ˆ etre approxim´ ee par
d
2
dt 2 θ = −
g
l
θ lorsque l’hypoth` ese
des petites amplitudes (θ(t) ∼ 0) est faite. (La longueur de la corde du pendule est l.) Cette
approximation m` ene `
a la solution θ(t) = θ0 cos(
g
l
(t − t0)), qui est de p´ eriode ind´ ependante de
l’amplitude θ0. Cependant, cette solution est inad´ equate si l’amplitude maximale θ0 est choisie
assez grande.
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14.7 Un dispositif isochrone
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A l’´ epoque o` u elle a ´ et´ e d´ ecouverte, la propri´ et´ e tautochrone de la section pr´ ec´ edente
a soulev´ e beaucoup d’espoir par ses applications potentielles en horlogerie. Si on peut
forcer une particule ` a parcourir une trajectoire de cyclo¨ ıde sous l’effet de la gravit´ e
et ´ eliminer tous les frottements, ses oscillations auront la mˆ eme p´ eriode (4π
a
g ), peu
importe l’amplitude du mouvement. Ce n’est pas le cas du pendule classique qui trace
une trajectoire en arc de cercle. Dans ce type de pendule, la p´ eriode augmente en fonction
de l’angle de d´ eplacement. En pratique, on peut n´ egliger cette variation si l’angle est
petit, mais l’horloge ne sera jamais parfaitement pr´ ecise
2 .
Ayant d´ ecouvert que la courbe tautochrone est la cyclo¨ ıde et non l’arc de cercle,
Huygens a eu l’id´ ee de construire une horloge o` u il contraindrait le pendule `
a parcourir
une trajectoire cyclo¨ ıdale. `
A l’´ epoque, une am´ elioration de la pr´ ecision des horloges avait
un impact important en astronomie et en navigation. En fait, la pr´ ecision des horloges
´ etait pratiquement une question de vie ou de mort pour les marins. Pour d´ eterminer
leur longitude, les marins avaient besoin de connaˆ ıtre avec pr´ ecision le moment de la
journ´ ee. Or, les montres impr´ ecises de l’´ epoque accumulaient, lors de longs voyages,
des erreurs inacceptables, car elles pouvaient laisser croire aux marins munis de cartes
maritimes que leur navire ´ etait au-dessus de fonds sˆ urs alors qu’il ´ etait pr` es de r´ ecifs.
Nous d´ ecrirons maintenant un dispositif imagin´ e par Huygens pour faire parcourir
une courbe cyclo¨ ıde `
a la masse d’un pendule. Le probl` eme de ce dispositif est que les
frottements y sont beaucoup plus importants que pour le pendule classique.
Fig. 14.9. Le dispositif de Huygens et deux positions du pendule
2 Il est possible que vous ayez ´ etudi´ e le pendule dans un cours de physique. L’´ equation
du mouvement,
d
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dt 2 θ = −
g
l
sin θ, peut ˆ etre approxim´ ee par
d
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dt 2 θ = −
g
l
θ lorsque l’hypoth` ese
des petites amplitudes (θ(t) ∼ 0) est faite. (La longueur de la corde du pendule est l.) Cette
approximation m` ene `
a la solution θ(t) = θ0 cos(
g
l
(t − t0)), qui est de p´ eriode ind´ ependante de
l’amplitude θ0. Cependant, cette solution est inad´ equate si l’amplitude maximale θ0 est choisie
assez grande.