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14 Le calcul des variations
Il ne reste plus qu’` a ´ evaluer l’int´ egrale I(θ 0 ). La premi` ere ´ etape est de r´ e´ ecrire
I(θ 0 ) =
π
θ0
sin
θ
2
cos 2 θ0
2 − cos 2 θ
2
dθ,
en utilisant
√
1 − cos θ =
√
2 sin
θ
2 et cos θ = 2 cos
2 θ
2 − 1. Pour calculer cette int´ egrale,
on utilise le changement de variables
u =
cos
θ
2
cos
θ0
2
,
d u = −
sin
θ
2
2 cos
θ0
2
dθ.
Les nouvelles bornes d’int´ egration sont, lorsque θ = θ 0 , u = 1 et, lorsque θ = π, u = 0.
L’int´ egrale devient donc
I(θ 0 ) = −
0
1
2
√
1 − u 2
du = −2 arcsin(u)
0
1
= π,
ce qui termine la preuve.
Notons pour terminer que les calculs de cette section permettent d’obtenir le temps
de parcours d’une bille glissant le long d’une cyclo¨ ıde (14.19) du point (0, 0) au point
(x(θ), y(θ)). L’int´ egrale (14.21) s’applique toujours : il suffit d’en changer les bornes.
Corollaire 14.9 Le temps de parcours d’un point mat´ eriel le long de la cyclo¨ ıde (14.19)
du point θ = 0 au point θ, sous la seule action de son poids, est donn´ e par
T (θ) =
a
g
θ.
En particulier, T (π) = π
a
g (c’est le temps τ (θ 0 ) calcul´ e ci-dessus pour arriver au bas
de la cuvette), et T (2π) = 2π
a
g est la demi-p´ eriode (c’est-` a-dire le temps le plus court
pour aller de (0, 0) ` a (2πa, 0) en utilisant seulement la gravit´ e).
Preuve La fonction `
a int´ egrer est donn´ ee par (14.25). Nous sommes dans le cas particulier o` u θ 0 = 0 et o` u la borne sup´ erieure est param´ etr´ ee par θ. Le temps de parcours
est donc donn´ e par
T (θ) =
T (θ)
0
dt =
a
g
θ
0
sin
θ
2
1 − cos 2 θ
2
dθ =
a
g
θ
0
dθ =
a
g
θ.