14.6 La propri´ et´ e tautochrone de la courbe cyclo¨ ıde
481
De par (14.19),
dy
dθ
= a sin θ.
On doit calculer v y (θ). `
A nouveau, c’est la conservation de l’´ energie qui le permet ;
comme pour (14.3), la vitesse totale v(θ) en (x(θ), y(θ)) d´ epend de la distance verticale
parcourue
h(θ) = y(θ) − y(θ 0 ) = a(cos θ 0 − cos θ),
et
v(θ) =
2gh(θ) =
2ga
cos θ 0 − cos θ.
La vitesse verticale est
v y (θ) = v(θ) sin φ,
(14.22)
o` u φ est l’angle entre le vecteur vitesse et l’horizontale. Comme
tan φ =
dy
dx
=
dy
dθ
dx
dθ
=
sin θ
1 − cos θ
,
on a
1 + tan
2 φ =
2
1 − cos θ
et
sin φ =
1 − cos 2 φ =
1 −
1
1 + tan
2 φ
=
1 + cos θ
2
.
(14.23)
(Attention ! Puisque l’axe des y est mesur´ e vers le bas, l’angle φ croˆ ıt dans la direction
horaire plutˆ ot qu’antihoraire ; l’angle φ indiqu´ e sur la figure 14.8 est donc positif.) Ainsi,
v y (θ) =
√
ga
cos θ 0 − cos θ
√
1 + cos θ.
(14.24)
La fonction `
a int´ egrer dans (14.21) peut maintenant ˆ etre explicit´ ee en termes de θ 0 et
θ. Puisque pour 0 ≤ θ ≤ π, la fonction sin θ est positive, sin θ =
√
1 − cos 2 θ, et nous
obtenons
1
v y (θ)
dy
dθ
=
a sin θ
√
ga
√
cos θ 0 − cos θ
√
1 + cos θ
=
a
g
(1 − cos θ)(1 + cos θ)
√
cos θ 0 − cos θ
√
1 + cos θ
=
a
g
√
1 − cos θ
√
cos θ 0 − cos θ
.
(14.25)
Alors,
τ (θ 0 ) =
a
g
I(θ 0 ),
o` u
I(θ 0 ) =
π
θ0
√
1 − cos θ
√
cos θ 0 − cos θ
dθ.