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14 Le calcul des variations
14.6 La propri´ et´ e tautochrone de la courbe cyclo¨ ıde
Rappelons que la cyclo¨ ıde est param´ etris´ ee comme suit
x(θ) = a(θ − sin θ),
y(θ) = a(1 − cos θ),
(14.19)
en fonction de la variable θ ∈ [0, 2π]. (La figure 14.8 repr´ esente une telle cyclo¨ ıde ; l’axe
des y pointe vers le bas.) Les sommets de la cyclo¨ ıde sont aux points θ = 0 et 2π, et
le fond de la cuvette est en θ = π. Posons une bille de masse m en (x(θ 0 ), y(θ 0 )), pour
un certain θ 0 < π, et relˆ achons-la sans vitesse. Si le frottement est n´ egligeable, la bille
se rendra au point sym´ etrique de (x(θ 0 ), y(θ 0 )) par rapport au fond de la cuvette, puis
rebroussera chemin pour revenir au point de d´ epart qu’elle atteindra `
a vitesse nulle.
Cette oscillation compl` ete est une p´ eriode. Le but de cette section est de prouver que
cette p´ eriode est ind´ ependante du point de d´ epart d´ etermin´ e par θ 0 .
Proposition 14.8 Soit T (θ 0 ) la p´ eriode des oscillations pour une bille lˆ ach´ ee en (x(θ 0 ),
y(θ 0 )). Alors,
T (θ 0 ) = 4π
a
g
.
(14.20)
La p´ eriode est donc ind´ ependante de θ 0 .
Preuve La p´ eriode est ´ egale `
a 4τ (θ 0 ) o` u τ (θ 0 ) est le temps mis par la particule pour
aller de (x(θ 0 ), y(θ 0 )) `
a (x(π), y(π)). Nous allons montrer que τ (θ 0 ) = π
a
g .
Fig. 14.8. La position de d´ epart (x(θ0), y(θ0)) de la bille et les composantes de sa vitesse en
un temps ult´ erieur
Soit v y (θ) la vitesse verticale de la particule en P (θ). Alors, on a
τ (θ 0 ) =
τ (θ0)
0
dt =
y(π)
y(θ0)
dy
v y (θ)
=
π
θ0
1
v y (θ)
dy
dθ
dθ.
(14.21)