14.5 Le tunnel le plus rapide
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On devra donc exprimer les bornes de l’int´ egrale en termes de ces nouvelles variables.
Les coordonn´ ees d’un point sur la sph` ere interne satisfont ` a x
2 + y
2 + z
2 = ρ
2 , ρ = b =
R − r. Les coordonn´ ees d’un point sur la sph` ere externe satisfont, elles, ` a (x + r)
2 +
y
2 + z
2 = R
2 , c’est-` a-dire
(ρ sin θ + r)
2 + ρ
2 cos
2 θ cos
2 φ + ρ
2 cos
2 θ sin
2 φ = R
2 ,
d’o` u
ρ
2 + r
2 + 2rρ sin θ = R
2 .
Cette ´ equation poss` ede deux racines. On choisit
ρ = −r sin θ +
r 2 sin
2 θ − r 2 + R 2
de fa¸ con ` a ce que ρ ≥ 0. On a donc maintenant tout ce qu’il faut pour ´ evaluer l’int´ egrale
triple F , puisqu’on a exprim´ e les bornes de l’int´ egrale en coordonn´ ees sph´ eriques :
F = mGμ
π
2
−
π
2
−r sin θ+
√
R 2 −r 2 cos 2 θ
R−r
2π
0
ρ sin θ
ρ 3
ρ
2 cos θ dφ dρ dθ
= 2πmGμ
π
2
−
π
2
−r sin θ+
√
R 2 −r 2 cos 2 θ
R−r
sin θ cos θ dρ dθ
= 2πmGμ
π
2
−
π
2
sin θ cos θ(−r sin θ +
R 2 − r 2 cos 2 θ + r − R) dθ
= 2πmGμ
π
2
−
π
2
−r sin
2 θ cos θ + sin θ cos θ
R 2 − r 2 cos 2 θ + (r − R)
sin 2θ
2
dθ
= 2πmGμ
−r sin
3 θ
3
π
2
−
π
2
+
1
3r 2 (R
2
− r
2 cos
2 θ)
3
2
π
2
−
π
2
−
(r − R) cos 2θ
4
π
2
−
π
2
.
Les deux derniers termes sont ´ egaux `
a 0. Donc :
F = −
4π
3
rmGμ.
Le signe n´ egatif indique que la force est dirig´ ee vers le centre de la Terre. Finalement,
si M est la masse de la Terre, on a μ =
M
4πR 3 /3 et
|F | =
GM m
R 3 r.