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14 Le calcul des variations
Fig. 14.7. Les variables caract´ erisant le point int´ erieur P
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = ρ sin θ,
y = ρ cos θ cos φ,
z = ρ cos θ sin φ,
o` u θ ∈ [−
π
2 ,
π
2 ], ρ ≥ 0 et φ ∈ [0, 2π]. Le jacobien de ce changement de coordonn´ ees est
ρ
2 cos θ ≥ 0, et donc, les volumes infinit´ esimaux d’int´ egration sont reli´ es par dx dy dz =
ρ
2 cos θ dρ dθ dφ.
La sph` ere de centre P et de rayon b = R − r a une attraction nette nulle sur P pour
des raisons de sym´ etrie. Donc, l’attraction totale de la sph` ere sur le point P est ´ egale `
a
l’attraction exerc´ ee sur P par la partie en gris de la figure 14.7.
La force gravitationnelle exerc´ ee par un petit ´ el´ ement de volume de dx dy dz, centr´ e
en (x, y, z), est proportionnelle au vecteur
(x,y,z)
(x 2 +y 2 +z 2 )
3
2
dx dy dz. La force gravitationnelle
totale doit ˆ etre la somme des petites contributions. Pour des raisons de sym´ etrie, ses
composantes en y et en z sont nulles.
La grandeur de la force totale est donc donn´ ee par l’int´ egrale triple
F = mGμ
x
(x 2 + y 2 + z 2 )
3
2
dx dy dz,
o` u μ est la densit´ e de masse volumique de la boule, G, la constante de gravitation de
Newton et m, la masse de la particule. Le domaine d’int´ egration est le volume d´ ecrit par
la partie en gris de la figure 14.7, c’est-` a-dire la partie entre la sph` ere interne (de rayon
b) et la sph` ere externe (la Terre). Pour calculer cette int´ egrale triple, on la transforme
en coordonn´ ees sph´ eriques :
F = mGμ
ρ sin θ
ρ 3 ρ
2 cos θ
dφ dρ dθ.
14 Le calcul des variations
Fig. 14.7. Les variables caract´ erisant le point int´ erieur P
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = ρ sin θ,
y = ρ cos θ cos φ,
z = ρ cos θ sin φ,
o` u θ ∈ [−
π
2 ,
π
2 ], ρ ≥ 0 et φ ∈ [0, 2π]. Le jacobien de ce changement de coordonn´ ees est
ρ
2 cos θ ≥ 0, et donc, les volumes infinit´ esimaux d’int´ egration sont reli´ es par dx dy dz =
ρ
2 cos θ dρ dθ dφ.
La sph` ere de centre P et de rayon b = R − r a une attraction nette nulle sur P pour
des raisons de sym´ etrie. Donc, l’attraction totale de la sph` ere sur le point P est ´ egale `
a
l’attraction exerc´ ee sur P par la partie en gris de la figure 14.7.
La force gravitationnelle exerc´ ee par un petit ´ el´ ement de volume de dx dy dz, centr´ e
en (x, y, z), est proportionnelle au vecteur
(x,y,z)
(x 2 +y 2 +z 2 )
3
2
dx dy dz. La force gravitationnelle
totale doit ˆ etre la somme des petites contributions. Pour des raisons de sym´ etrie, ses
composantes en y et en z sont nulles.
La grandeur de la force totale est donc donn´ ee par l’int´ egrale triple
F = mGμ
x
(x 2 + y 2 + z 2 )
3
2
dx dy dz,
o` u μ est la densit´ e de masse volumique de la boule, G, la constante de gravitation de
Newton et m, la masse de la particule. Le domaine d’int´ egration est le volume d´ ecrit par
la partie en gris de la figure 14.7, c’est-` a-dire la partie entre la sph` ere interne (de rayon
b) et la sph` ere externe (la Terre). Pour calculer cette int´ egrale triple, on la transforme
en coordonn´ ees sph´ eriques :
F = mGμ
ρ sin θ
ρ 3 ρ
2 cos θ
dφ dρ dθ.