14.5 Le tunnel le plus rapide
477
x(θ) = R
(1 − b) cos θ + b cos
1 − b
b
θ
,
y(θ) = R
(1 − b) sin θ − b sin
1 − b
b
θ
,
(14.18)
o` u b b [0, 1]. Cette courbe porte le nom d’hypocyclo¨ ıde. Nous ne ferons pas ce calcul.
Vous pouvez v´ erifier vous-mˆ eme que (14.18) est bien une solution, mais le calcul est
un peu long, et un logiciel de manipulations symboliques peut s’av´ erer utile. Dans le
(a) θ ∈ [0, 3π]
(b) Un tunnel en forme
d’hypocyclo¨ ıde
Fig. 14.6. Une hypocyclo¨ ıde de param` etre b = 0, 15
cas particulier o` u b =
1
2 , l’hypocyclo¨ ıde est un segment de droite, car x x [−R, R] et
y = 0. Nous avons vu qu’on peut tracer la cyclo¨ ıde en suivant la trajectoire d’un point
` a la p´ eriph´ erie d’un disque roulant le long d’une droite. L’hypocyclo¨ ıde, elle, peut ˆ etre
engendr´ ee par le d´ eplacement d’un point fix´ e sur un cercle de rayon a roulant sur un
autre cercle de rayon R (le param` etre b de l’´ equation (14.18) est b =
a
R ). Certains
d’entre vous se rappelleront peut-ˆ etre le jeu SpiroGraph de la maison Hasbro o` u on
plante un crayon dans un petit disque qu’on fait rouler `
a l’int´ erieur d’un anneau. La
seule diff´ erence, ici, est que le « crayon » est exactement sur la p´ eriph´ erie du petit cercle.
Il est remarquable de noter la similitude entre la solution de la brachistochrone et celle
du pr´ esent probl` eme.
Preuve de la proposition 14.7 On consid` ere une boule homog` ene et on ´ etudie la
force gravitationnelle s’exer¸ cant sur une particule plac´ ee en P , un point int´ erieur. Sans
perte de g´ en´ eralit´ e, on peut supposer que la particule P est situ´ ee sur l’axe des x ` a une
distance r ≤ R de l’origine (figure 14.7). On d´ ecide de placer l’origine en P et on utilise
les coordonn´ ees sph´ eriques
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x(θ) = R
(1 − b) cos θ + b cos
1 − b
b
θ
,
y(θ) = R
(1 − b) sin θ − b sin
1 − b
b
θ
,
(14.18)
o` u b b [0, 1]. Cette courbe porte le nom d’hypocyclo¨ ıde. Nous ne ferons pas ce calcul.
Vous pouvez v´ erifier vous-mˆ eme que (14.18) est bien une solution, mais le calcul est
un peu long, et un logiciel de manipulations symboliques peut s’av´ erer utile. Dans le
(a) θ ∈ [0, 3π]
(b) Un tunnel en forme
d’hypocyclo¨ ıde
Fig. 14.6. Une hypocyclo¨ ıde de param` etre b = 0, 15
cas particulier o` u b =
1
2 , l’hypocyclo¨ ıde est un segment de droite, car x x [−R, R] et
y = 0. Nous avons vu qu’on peut tracer la cyclo¨ ıde en suivant la trajectoire d’un point
` a la p´ eriph´ erie d’un disque roulant le long d’une droite. L’hypocyclo¨ ıde, elle, peut ˆ etre
engendr´ ee par le d´ eplacement d’un point fix´ e sur un cercle de rayon a roulant sur un
autre cercle de rayon R (le param` etre b de l’´ equation (14.18) est b =
a
R ). Certains
d’entre vous se rappelleront peut-ˆ etre le jeu SpiroGraph de la maison Hasbro o` u on
plante un crayon dans un petit disque qu’on fait rouler `
a l’int´ erieur d’un anneau. La
seule diff´ erence, ici, est que le « crayon » est exactement sur la p´ eriph´ erie du petit cercle.
Il est remarquable de noter la similitude entre la solution de la brachistochrone et celle
du pr´ esent probl` eme.
Preuve de la proposition 14.7 On consid` ere une boule homog` ene et on ´ etudie la
force gravitationnelle s’exer¸ cant sur une particule plac´ ee en P , un point int´ erieur. Sans
perte de g´ en´ eralit´ e, on peut supposer que la particule P est situ´ ee sur l’axe des x ` a une
distance r ≤ R de l’origine (figure 14.7). On d´ ecide de placer l’origine en P et on utilise
les coordonn´ ees sph´ eriques