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14 Le calcul des variations
o` u M est la masse de la boule, et G est la constante de gravitation de Newton.
Comme on peut d´ ecider d’accepter sans preuve ce r´ esultat classique et de poursuivre
la lecture nous reportons la preuve ` a la fin de la section.
Pour d´ eterminer la vitesse v au point (x, y(x)), on utilise la conservation de l’´ energie.
Ce principe physique dit qu’en l’absence de frottement, l’´ energie totale de la particule
en mouvement (c’est-` a-dire la somme de son ´ energie cin´ etique
1
2 mv
2 et de son ´ energie
potentielle V ) est une constante le long de la trajectoire. Or, au d´ epart, la vitesse est
suppos´ ee nulle, et l’´ energie cin´ etique est donc nulle. Puisque le d´ epart se fait ` a la surface
de la Terre, r initial = R, et l’´ energie potentielle est donc la valeur de V pour r = R. La
relation entre l’´ energie potentielle et la force gravitationnelle est donn´ ee par F = −∇V .
Puisque F ne d´ epend que du rayon, il suffit de trouver la primitive de F qui est
V =
GM mr
2
2R 3 .
L’´ energie potentielle n’est d´ etermin´ ee qu’` a une constante additive pr` es ; nous l’avons
pos´ ee ´ egale `
a z´ ero. L’´ energie totale de la particule au d´ epart de sa course est donc
E =
1
2
mv
2 + V (r) = 0 +
GM mr
2
2R 3
r=R
=
GM m
2R
.
Nous sommes maintenant en mesure de trouver la vitesse v de la particule en fonction
de sa position (x, y(x)). En vertu de la conservation de l’´ energie,
GM m
2R
=
mv
2
2
+
GM m
2R 3 r
2
et donc,
v =
GM (R 2 − r 2 )
R 3
.
En posant g =
GM
R 2 , ce qui correspond ` a la constante gravitationnelle ` a la surface de la
Terre, nous pouvons ´ ecrire la vitesse sous la forme
v =
g
R
R 2 − r 2 =
g
R
R 2 − x 2 − y 2 .
(14.17)
`
A l’aide de (14.15), (14.16) et (14.17), le temps de parcours de la particule dans le
tunnel peut s’exprimer comme suit :
t =
R
g
xB
xA
1 + (y ) 2
R 2 − x 2 − y 2
dx.
On arrive `
a une expression fort semblable ` a celle de la brachistochrone. Si on la r´ esout
au moyen des ´ equations d’Euler–Lagrange, on obtient une courbe (figure 14.6) dont les
´ equations param´ etriques sont
14 Le calcul des variations
o` u M est la masse de la boule, et G est la constante de gravitation de Newton.
Comme on peut d´ ecider d’accepter sans preuve ce r´ esultat classique et de poursuivre
la lecture nous reportons la preuve ` a la fin de la section.
Pour d´ eterminer la vitesse v au point (x, y(x)), on utilise la conservation de l’´ energie.
Ce principe physique dit qu’en l’absence de frottement, l’´ energie totale de la particule
en mouvement (c’est-` a-dire la somme de son ´ energie cin´ etique
1
2 mv
2 et de son ´ energie
potentielle V ) est une constante le long de la trajectoire. Or, au d´ epart, la vitesse est
suppos´ ee nulle, et l’´ energie cin´ etique est donc nulle. Puisque le d´ epart se fait ` a la surface
de la Terre, r initial = R, et l’´ energie potentielle est donc la valeur de V pour r = R. La
relation entre l’´ energie potentielle et la force gravitationnelle est donn´ ee par F = −∇V .
Puisque F ne d´ epend que du rayon, il suffit de trouver la primitive de F qui est
V =
GM mr
2
2R 3 .
L’´ energie potentielle n’est d´ etermin´ ee qu’` a une constante additive pr` es ; nous l’avons
pos´ ee ´ egale `
a z´ ero. L’´ energie totale de la particule au d´ epart de sa course est donc
E =
1
2
mv
2 + V (r) = 0 +
GM mr
2
2R 3
r=R
=
GM m
2R
.
Nous sommes maintenant en mesure de trouver la vitesse v de la particule en fonction
de sa position (x, y(x)). En vertu de la conservation de l’´ energie,
GM m
2R
=
mv
2
2
+
GM m
2R 3 r
2
et donc,
v =
GM (R 2 − r 2 )
R 3
.
En posant g =
GM
R 2 , ce qui correspond ` a la constante gravitationnelle ` a la surface de la
Terre, nous pouvons ´ ecrire la vitesse sous la forme
v =
g
R
R 2 − r 2 =
g
R
R 2 − x 2 − y 2 .
(14.17)
`
A l’aide de (14.15), (14.16) et (14.17), le temps de parcours de la particule dans le
tunnel peut s’exprimer comme suit :
t =
R
g
xB
xA
1 + (y ) 2
R 2 − x 2 − y 2
dx.
On arrive `
a une expression fort semblable ` a celle de la brachistochrone. Si on la r´ esout
au moyen des ´ equations d’Euler–Lagrange, on obtient une courbe (figure 14.6) dont les
´ equations param´ etriques sont