14.5 Le tunnel le plus rapide
475
avion. (La distance le long d’un grand cercle entre New York et Los Angeles est d’environ
3940 km.) Mais n’achetez pas vos billets imm´ ediatement ! Ce projet r´ evolutionnaire bute
sur quelques difficult´ es. Si les villes sont assez ´ eloign´ ees, le « meilleur tunnel » s’enfonce
assez profond´ ement dans la Terre, et il faudra creuser dans le magma ! Quel mat´ eriau
pourrait r´ esister ` a de telles chaleurs, sans compter la pression ` a de telles profondeurs ?
Et si nous parvenions ` a surmonter les obstacles dus ` a la chaleur et `
a la pression, il
resterait le probl` eme des coˆ uts. Seules les grandes villes de plusieurs millions d’habitants
peuvent se payer des m´ etros ; leur circuit totalise rarement plus que quelques centaines
de kilom` etres (1160 km pour le m´ etro de New York). Le tunnel sous la Manche mesure
50 km. Inaugur´ e en 1994, il a coˆ ut´ e 16 milliards d’euros. Ce n’est pas le plus long tunnel
du monde : le tunnel ferroviaire du Seikan, au Japon, mesure 53,85 km. Le seul projet
en cours (en 2006) qui le d´ epassera est le tunnel de base du Gothard, en Suisse ; d’une
longueur de 57 km, il devrait ˆ etre termin´ e en 2015. (Exercice : estimer la hauteur de
la colline de forme conique d’une pente de 30 degr´ es, qui serait construite ` a la surface
de la Terre par la roche retir´ ee des entrailles de la Terre pour n’importe lequel de ces
tunnels.) Notre solution du « meilleur tunnel » serait peut-ˆ etre plus utile sur la Lune. . .
Malgr´ e le caract` ere utopique (au moins `
a l’heure actuelle) du calcul qui suit, il s’agit
d’un tr` es joli exercice !
On peut mod´ eliser cette situation physiquement en assimilant la Terre ` a une boule
de densit´ e de masse volumique constante et les villes A et B ` a deux points `
a sa surface.
Tra¸ cons un tunnel dans le plan passant par A, par B et par le centre de la boule et
rep´ erons les points de cette courbe par (x, y(x)). Le but du calcul est donc ` a nouveau
de trouver la courbe (x, y(x)) qui sera parcourue le plus rapidement par quelqu’un
s’y engageant `
a vitesse nulle et s’y d´ epla¸ cant sans frottement sous l’effet de la seule
force gravitationnelle. Mais quelle est la diff´ erence entre ce probl` eme et celui de la
brachistochrone ? La seule diff´ erence est que, dans le cas du tunnel, la gravit´ e est variable
le long du parcours, car la distance entre la particule et le centre de la Terre varie selon
la position de la particule dans le tunnel.
Comme pour la brachistochrone, c’est le temps de parcours qui doit ˆ etre minimis´ e,
c’est-` a-dire l’int´ egrale
T =
ds
v
,
(14.15)
o` u v d´ esigne la vitesse au point (x, y(x)) de la course, et ds est l’´ el´ ement de longueur
ds =
1 + (y ) 2 dx.
(14.16)
La vitesse v sera un peu plus difficile `
a exprimer, puisque la gravit´ e est variable.
Proposition 14.7 En un point ` a distance r =
x 2 + y 2 du centre de la boule pleine
de rayon R > r et de densit´ e de masse volumique constante, la force gravitationnelle est
orient´ ee vers le centre de la boule, et sa grandeur est donn´ ee par
|F | =
GM m
R 3 r,
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avion. (La distance le long d’un grand cercle entre New York et Los Angeles est d’environ
3940 km.) Mais n’achetez pas vos billets imm´ ediatement ! Ce projet r´ evolutionnaire bute
sur quelques difficult´ es. Si les villes sont assez ´ eloign´ ees, le « meilleur tunnel » s’enfonce
assez profond´ ement dans la Terre, et il faudra creuser dans le magma ! Quel mat´ eriau
pourrait r´ esister ` a de telles chaleurs, sans compter la pression ` a de telles profondeurs ?
Et si nous parvenions ` a surmonter les obstacles dus ` a la chaleur et `
a la pression, il
resterait le probl` eme des coˆ uts. Seules les grandes villes de plusieurs millions d’habitants
peuvent se payer des m´ etros ; leur circuit totalise rarement plus que quelques centaines
de kilom` etres (1160 km pour le m´ etro de New York). Le tunnel sous la Manche mesure
50 km. Inaugur´ e en 1994, il a coˆ ut´ e 16 milliards d’euros. Ce n’est pas le plus long tunnel
du monde : le tunnel ferroviaire du Seikan, au Japon, mesure 53,85 km. Le seul projet
en cours (en 2006) qui le d´ epassera est le tunnel de base du Gothard, en Suisse ; d’une
longueur de 57 km, il devrait ˆ etre termin´ e en 2015. (Exercice : estimer la hauteur de
la colline de forme conique d’une pente de 30 degr´ es, qui serait construite ` a la surface
de la Terre par la roche retir´ ee des entrailles de la Terre pour n’importe lequel de ces
tunnels.) Notre solution du « meilleur tunnel » serait peut-ˆ etre plus utile sur la Lune. . .
Malgr´ e le caract` ere utopique (au moins `
a l’heure actuelle) du calcul qui suit, il s’agit
d’un tr` es joli exercice !
On peut mod´ eliser cette situation physiquement en assimilant la Terre ` a une boule
de densit´ e de masse volumique constante et les villes A et B ` a deux points `
a sa surface.
Tra¸ cons un tunnel dans le plan passant par A, par B et par le centre de la boule et
rep´ erons les points de cette courbe par (x, y(x)). Le but du calcul est donc ` a nouveau
de trouver la courbe (x, y(x)) qui sera parcourue le plus rapidement par quelqu’un
s’y engageant `
a vitesse nulle et s’y d´ epla¸ cant sans frottement sous l’effet de la seule
force gravitationnelle. Mais quelle est la diff´ erence entre ce probl` eme et celui de la
brachistochrone ? La seule diff´ erence est que, dans le cas du tunnel, la gravit´ e est variable
le long du parcours, car la distance entre la particule et le centre de la Terre varie selon
la position de la particule dans le tunnel.
Comme pour la brachistochrone, c’est le temps de parcours qui doit ˆ etre minimis´ e,
c’est-` a-dire l’int´ egrale
T =
ds
v
,
(14.15)
o` u v d´ esigne la vitesse au point (x, y(x)) de la course, et ds est l’´ el´ ement de longueur
ds =
1 + (y ) 2 dx.
(14.16)
La vitesse v sera un peu plus difficile `
a exprimer, puisque la gravit´ e est variable.
Proposition 14.7 En un point ` a distance r =
x 2 + y 2 du centre de la boule pleine
de rayon R > r et de densit´ e de masse volumique constante, la force gravitationnelle est
orient´ ee vers le centre de la boule, et sa grandeur est donn´ ee par
|F | =
GM m
R 3 r,